PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

la comète, puisque, dans le premier cas, elle exprime la somme des masses du Soleil et de la Terre; au lieu que, dans le second cas, elle exprime la somme des masses du Soleil et de la comète; mais, les masses de la Terre et de la comète étant beaucoup moindres que celle du Soleil, on peut les négliger, et supposer que [x est le même pour tous ces corps, et qu'il exprime la masse du Soleil. En substituant

donc au lieu de Vp- sa valeur -=r dans l'expression précédente de ty on aura

tang^(^~i- ^lang'^p'

Cette équation ne renferme plus que des quantités comparables entre elles ; elle donnera facilement t lorsque v sera connu ; mais, pour avoir v au moyen de t^ il faut résoudre une équation du troisième degré, qui n'est susceptible que d'une seule racine réelle. On peut se dispenser de cette résolution en faisant une Table des valeurs de v correspondantes à celles de t, dans une parabole dont la distance périhélie est l'unité, ou égale à la moyenne distance de la Terre au Soleil. Cette Table donnera le temps correspondant à l'anomalie v, dans une parabole quel-

conque dont D est la distance périhélie, en multipliant par D^ le temps qui correspond à la même anomalie dans la Table. On aura l'anomalie v

correspondante au temps t, en divisant t par D% et en cherchant dans la Table l'anomalie qui répond au quotient de cette division.

Supposons maintenant que l'on cherche l'anomalie v correspondante au temps t dans une ellipse fort excentrique. Si l'on néglige les quantités de l'ordre a-, et que l'on remette i — e au lieu de a, l'expression précédente de t en v, dans l'ellipse, donnera

t=, ll!i^ [langif ; ^tang^t^ -i- (i - e) tangic({ - jlangHt^ - itang4i^)].

On cherchera, par la Table du mouvement des comètes, l'anomalie qui répond au temps t dans une parabole dont D serait la distance péri-

hélie; soit U cette anomalie, et U -r- a? l'anomalie vraie dans l'ellipse, correspondante au même temps, x étant un très- petit angle. Si l'on substitue dans l'équation précédente U + a? au lieu de v, et que l'on réduise le second membre en série ordonnée par rapport aux puissances de a?, on aura, en négligeant le carré de x et le produit de x par I — e,

/-î^[tangiU + ilang3iU + ^^^^H-^langaMi--tang4U--itang4U^^ mais on a, par la supposition,

/— — -y^ (tang^U +^lang4U); sillon aura donc, en substituant au lieu du petit arc x son sinus,

sin^ = Vô (i — e) lang^U(4 — 3cosHU - 6cosUU). Ainsi, en formant une Table des logarithmes de la quantité VôlangiU (4 — 3cos2lU - 6cos*^U),

il suffira de leur ajouter le logarithme de i — e pour avoir celui de sino;; on aura par conséquent la correction à faire à l'anomalie U, calculée dans la parabole, pour avoir l'anomalie correspondante dans une ellipse fort excentrique.

24. Il nous reste à considérer le mouvement dans une orbite hyperbolique. Pour cela, nous observerons que, dans l'hyperbole, le demigrand axe a devient négatif, et l'excentricité e surpasse l'unité. En

faisant donc, dans les équations (/) du n° 20, a — — a' et u — ——?

et en substituant au lieu des sinus et des cosinus leurs valeurs en exponentielles imaginaires, la première de ces équations donnera

t J UL e , , ,. ,