PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

Pour déterminer ces éléments par les observations, nous transformerons les coordonnées de chaque corps en d'autres dont l'origine soit à l'observateur. En supposant donc un plan passant par l'œil de l'observateur, et dont la situation soit toujours parallèle à elle-même, tandis que l'observateur se meut sur une courbe donnée, nous nommerons p, p', p", ... les distances de l'observateur aux différents corps, projetées sur ce plan; a, a', a",... les longitudes apparentes de ces corps, rapportées au même plan, et 0, 6', 6",... leurs latitudes apparentes. Les variables x, y, z seront données en fonction de p, a, H et des coordonnées de l'observateur. Pareillement, 5?', y', z' seront données en fonction de p', a, 0' et des coordonnées de l'observateur, et ainsi de suite. D'ailleurs, si l'on suppose que les forces X, Y, Z, X', Y', Z', . . . sont dues à l'action réciproque des corps du système et à des attractions étrangères, elles seront données en fonction de p, p', p",...; a, a , a",...; 0, 6', 0", ... et de quantités connues; les équations différentielles précédentes seront ainsi entre ces nouvelles variables et leurs premières et secondes différences. Or les observations font connaître, pour un instant donné, les valeurs de a, (^f), (^); 0, (^1), {^)'^^'^ ("^)'"'' il ne restera donc d'inconnues que les valeurs de p, p', p", . . . , et leurs premières et secondes différences. Ces inconnues sont au nombre de 3/i, et, comme on a 3n équations différentielles, on pourra les déterminer. On aura même cet avantage, que les premières et secondes différences de p, p', p", ... ne se présenteront dans ces équations que sous une forme linéaire.

Les quantités a, 0, p, a. G', p', . . . et leurs premières différences divisées par dt étant connues, on aura, pour un instant donné, les valeurs de X, y, z, x\ y\ z',,.. et de leurs premières différences divisées par dt. Si l'on substitue ces valeurs dans les "dn intégrales finies des équations précédentes et dans les différences premières de ces intégrales, on aura 6n équations, au moyen desquelles on pourra déterminer les 6n arbitraires de ces intégrales, ou les éléments des orbites des diff'érents corps.

OEuvres de L. — I. 29

31. Appliquons cette méthode au mouvement des comètes. Pour cela, nous observerons que la force principale qui les anime est l'attraction du Soleil; nous pouvons ainsi faire abstraction de toute autre force. Cependant, &i la comète passait assez près d'une grosse planète pour en éprouver un dérangement sensible, la méthode précédente ferait connaître encore sa vitesse et sa distance à la Terre; mais, ce cas étant excessivement rare, nous n'aurons égard, dans les recherches suivantes, qu'à l'action du Soleil.

Si l'on prend pour unité de masse celle du Soleil, et pour unité de distance sa moyenne distance à la Terre; si, de plus, on fixe au centre du Soleil l'origine des coordonnées x, y, z d'une comète, dont nous nommerons r le rayon vecteur, les équations différentielles (0) du n" 17 deviendront, en négligeant la masse de la comète vis-à-vis de celle du Soleil, ,

\ ^ ~' di^ ~ r» "

Supposons que le plan des ce et des j soit le plan même de l'écliptique; que Taxe des x soit la ligne menée du centre du Soleil au premier point d'Ariès, à une époque donnée; que l'axe des j soit la ligne menée du centre du Soleil au premier point du Cancer, à la même époque; enfin, que les :; positifs soient du même côté que le pôle boréal de l'écliptique. Nommons ensuite x' et y' les coordonnées de la Terre, et R son rayon vecteur. Cela posé :

Transformons les coordonnées x,y, z en d'autres relatives à l'observateur, et, pour cela, nommons a la longitude géocentrique de la comète, 0 sa latitude géocentrique, et p sa distance au centre de la Terre, projetée sur l'écliptique; nous aurons

X — x' ^~ pcoscc, y-'-y' -V- psma., z--p\2iX\^0.

Si l'on multiplie la première des équations (/•) par sina, et que l'on en retranche la seconde multipliée par cosa, on aura

d-x d^r .rsina — vcosa

dt- dt- v^ '

d'où l'on tire, en substituant pour x ety leurs valeurs précédentes,

d-x' d-y' ^'sina — r'cosa f dû\ f doi\ /d-a'\

o :=: Sin a -rr- COS X -i'-- -! - - - ?. 1 — ^- Il -r- ) — p — -.- •

dt-

dl ] \ dt

La Terre étant retenue dans son orbite, comme la comète, par l'attraction du Soleil, on a

dt^ R=«

dt- ' R3

ce qui donne

d^x' d-r' y' cosa — x' sina '•"^^- "- "^'^-JZ^ ^^ ^ -R3

on aura donc

Soit k la longitude de la Terre vue du Soleil ; on aura

^'::RcosA, j^' = RsinA;

partant

y' cosa. — ^'sina =:Rsin(A — a); l'équation précédente donnera ainsi

fd^-a'

^ \ — Rsin(A — g) /j i\ ^SA^I

dtl-~'~Jdax \R^ W J± "^[Wl \dt

Cherchons maintenant une seconde expression de ( j? ) • Pour cela, nous

multiplierons la première des équations {k} par tangOcosa, la seconde par tangO sina, et nous retrancherons la troisième équation de la somme

de ces deux produits; nous aurons ainsi

^/ d'X . d'^y\ , :r cosa -r rsina d-z z o = lange (cosa^ -^^"«^j -^«ng^^ -r " " ^dW '' l^^'

Cette équation deviendra, en y substituant pour x, y, z leurs valeurs,

A(d^x' x'\ Id-^r' r'\ . "1

« = tango L^^^ + h] ^«^^+ [-W- -"^ ;^j ^^"^J -

dQ\ /dp 'dtj \dt CCS- 9

or on a

-7—- H- — cosa+ -7—- + ^ sina = (.r'ccsa + r'sina) — — 77^

RcosfA — a]

partant

dt - -P

rig) L©

rfôv +M^,- tangô +

aty \

dt)

RsinôcosôcosfA — a) / i

si l'on retranche cette valeur de ( ^ 1 de la première, et que l'on suppose

(da\(d-^9\ (dQXtd-ioLX '^ \^ l\ dl^j \dt]\dt^ j"^"

2i-r-l(-77 tango + (-77-1 sinôcosô

dt \dt

on aura

sin9cos9cos(A — a]

di)''''

l/.' \ra R3