LIVRE II

Le secteur infiniment petit, que la projection du rayon vecteur de la comète sur le plan de l'écliptique décrit durant l'élément du temps dl,

est — ^ ', et il est visible que ce secteur est positif ou négatif,

suivant que le mouvement de la comète est direct ou rétrograde; ainsi, en formant la quantité ^ (^) "7(^)' ^ll^ indiquera par son signe le sens du mouvement de la comète.

Pour déterminer la position de l'orbite, nommons 9 son inclinaison à l'écliptique, et I la longitude du nœud qui serait ascendant si le mouvement de la comète était direct; nous aurons

z : :^cosItang(p — ^sinltangç.

Cette équation, combinée avec sa différentielle, donne

tangl

tangcp

dz dt

dx dit

r(^\-zl^'

sini

i dx

y\Tt

flp devant toujours être positif et moindre qu'un angle droit, cette condition détermine le signe de sinI; or, la tangente de I et le signe de son sinus étant déterminés, l'angle l est entièrement déterminé. Cet angle est la longitude du nœud ascendant de l'orbite, si le mouvement est direct; mais il faut lui ajouter deux angles droits pour avoir la longitude de ce nœud, si le mouvement est rétrograde. Il serait plus simple de ne considérer que des mouvements directs, en faisant varier l'inclinaison ç des orbites depuis zéro jusqu'à deux angles droits; car il est visible qu'alors les mouvements rétrogrades répondent à une inclinaison plus grande qu'un angle droit. Dans ce cas, tangcp est du même

signe que ^(77-) ~y (^)» ce qui détermine sinI, et par conséquent

di j -^ \dt ,

l'angle I, qui exprime toujours la longitude du nœud ascendant.

a et ea étant le demi-grand axe et l'excentricité de l'orbite , on a , par les n°M8 et 19, en y faisant [x = i,

« " 7 \dt ]

dt

dzy-

a LU'/ ' \^'

dz\ dt]

La première de ces équations détermine le demi-grand axe de l'orbite, et la seconde détermine son excentricité. Le signe de la fonction

^(t") '^y\lT! ~^^(^) fsiit connaître si la comète a déjà passé par son périhélie; car elle s'en approche, si cette fonction est négative; dans le cas contraire, la comète s'éloigne de ce point.

Soit T l'intervalle de temps compris entre l'époque et le passage de la comète par le périhélie; les deux premières des équations (/) du n" 20 donneront, en observant que, p. étant supposé égal à l'unité.

on a « = a 2

r^=a[i — ^cosa), T = a" (a — esina'

La première de ces équations donne l'angle u, et la seconde fait connaître T. Ce temps, ajouté ou retranché de l'époque, suivant que la comète s'approche ou s'éloigne du périhélie, donnera l'instant de son passage par ce point. Les valeurs de ^ et de y déterminent l'angle que la projection du rayon vecteur r fait avec l'axe des x, et, puisque l'on connaît l'angle I formé par cet axe et par la ligne des nœuds, on aura l'angle que forme cette dernière ligne avec la projection de r, d'où l'on tirera, au moyen de l'inclinaison <p de l'orbite, l'angle formé par la ligne des nœuds et par le rayon r. Mais, l'angle u étant connu, on aura, au moyen de la troisième des équations (/) du n° 20, l'angle r que forme ce rayon avec la ligne des apsides; on aura donc l'angle compris entre les deux lignes des apsides et des nœuds, et par conséquent la position du périhélie; tous les éléments de l'orbite seront ainsi déterminés.