PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

Méthode générale pour déterminer les orbes des comètes.

Cette méthode sera divisée en deux parties : dans la première, nous donnerons le moyen d'obtenir à peu près la distance périhélie de la comète et l'instant de son passage au périhélie; dans la seconde, nous déterminerons exactement tous les éléments de l'orbite, en supposant ceux-ci à peu près connus.

Détermination approchée de la distance périhélie de la comète et de l'instant de son passage au périhélie.

On choisira trois, quatre, ou cinq,... observations de la comète, également éloignées les unes des autres, autant qu'il sera possible; on pourra embrasser, avec quatre observations, un intervalle de 3o°; avec cinq observations, un intervalle de 36^ ou l\o°, et ainsi du reste; mais il faudra toujours que l'intervalle compris entre les observations soit d'autant plus considérable qu'elles sont en plus grand nombre, afin de diminuer l'influence de leurs erreurs. Cela posé :

Soient G, ê', G", ... les longitudes géocentriques successives de la comète; y, y', y", ... les latitudes correspondantes, ces latitudes étant supposées positives ou négatives suivant qu'elles sont boréales ou australes. On divisera la différence ê'— ê par le nombre des jours qui séparent la première de la seconde observation; on divisera pareillement la diff'érence ê"— ê' par le nombre des jours qui séparent la seconde de la troisième observation; on divisera encore la différence ê'"— ê" par le nombre des jours qui séparent la troisième de la quatrième observation, et ainsi de suite. Soient Se, Se', SG", ... ces quotients.

On divisera la différence Se — Se par le nombre des jours qui séparent la première observation de la troisième; on divisera pareillement la différence Se"— SS' par le nombre des jours qui séparent la seconde observation de la quatrième; on divisera encore la différence Se' — Se"

par le nombre des jours qui séparent la troisième observation de la cinquième, et ainsi de suite. Soient c)^ê, ^'^ê', S^ê", . . . ces quotients.

On divisera la différence §^ê'— ^-ê par le nombre des jours qui séparent la première observation de la quatrième; on divisera pareillement S'^ê"— S^ê' par le nombre des jours qui séparent la seconde observation de la cinquième, et ainsi de suite. Soient S^ê, S^ê', . . . ces quotients. On continuera ainsi, jusqu'à ce que l'on parvienne à c)"-'g, n étant le nombre des observations employées.

Cela fait, on prendra une époque moyenne ou à peu près moyenne entre les instants des deux observations extrêmes; et, en nommant i, i', i", i", ... le nombre des jours dont elle précède chaque observation, i, i, i", . . . devant être supposés négatifs pour les observations antérieures à cette époque, la longitude de la comète, après un petit nombre z de jours comptés depuis l'époque, sera exprimée par la formule suivante :

/ g ^- / ôê ^ ii' Ô2 g ii'i" â» g + . . .

p I -,- z[ô6 " J-+-i') <5-ê+ ;/«'+ zV"+ i'i") ^36 — ;;»'/"+ ii'i'"^ ii"i"'-\- i'i"i"') ô^ ê , . . . | l -:- z» [Ô2 6 - ; / + /'+ i" ; 5» ê + ( H' + ii"+ ii'"-^ i'i"-^ i'i"'+ i"i"' ; ô » ê - . . . ] .

Les coefficients de — ^^, -+-^*ê, — 8'ê,..., dans la partie indépendante de z, sont : i° le nombre i; 2° le produit des deux nombres i et i'\ 3° le produit des trois nombres i, i', i", etc.

Les coefficients de — S*ê, -h ^'ê, — %%, . . . , dans la partie multipliée par s, sont : i° la somme des deux nombres i et i ; n^ la somme des produits deux à deux des trois nombres i, i\ i"-, 3*^ la somme des produits trois à trois des quatre nombres i, i', i", i'", etc.

Les coefficients de —?>'€, -i-^^ê, — ^^ê, ..., dans la partie multipliée par z^, sont : i° la somme des trois nombres i, i , i ; 2° la somme des produits deux à deux des quatre nombres i, i , i', i"; 'i° la somme des produits trois à trois des cinq nombres i, i\ i", i"\ i'", etc.

Au lieu de former ces produits, il est aussi simple de développer la fonction