PREMIERE PARTIE. - LIVRE II

qui donneront les valeurs de u et de t relatives aux corrections de ces nouveaux éléments.

Ayant ainsi la vraie distance périhélie et le véritable instant du passage de la comète au périhélie, on en conclura de cette manière les autres éléments de l'orbite.

Soienty la longitude du nœud qui serait ascendant si le mouvement de la comète était direct, et 9 l'inclinaison de l'orbite; on aura, en comparant la première et la dernière observation,

. langer sine"— langcj" sin€ ^•^ ~ tangcj cos 6"— langer" ces ê'

langer" lang9 —

sm(ê"-y)

Comme on peut comparer ainsi deux à deux les trois observations, il sera plus exact de choisir celles qui donnent aux fractions précédentes les plus grands numérateurs et les plus grands dénominateurs.

Tangy pouvant appartenir également aux deux angles / et r.+j, j étant le plus petit des angles positifs auxquels appartient sa valeur, pour déterminer celui des deux angles qu'il faut choisir, on observera que 9 est positif et moindre qu'un angle droit, et qu'ainsi sin(€" — y) doit être du même signe que tangci". Cette condition déterminera l'angle j, et cet angle sera la position du nœud ascendant, si le mouvement de la comète est direct; mais, si ce mouvement est rétrograde, il faudra ajouter deux angles droits à l'angle y pour avoir la position de ce nœud.

L'hypoténuse du triangle sphérique dont ê" — y et vs" sont les côtés est la distance de la comète à son nœud ascendant dans la troisième observation, et la différence entre v" et cette hypoténuse est l'intervalle entre le nœud et le périhélie, compté sur l'orbite.

Si l'on veut donner à la théorie d'une comète toute la précision que les observations comportent, il faut l'établir sur l'ensemble des meilleures observations, ce que l'on pourra faire ainsi. Marquons d'un trait, de deux traits, etc., les lettres m, n, p, relatives à la seconde

observation, à la troisième, etc., comparées toutes à la première observation ; on formera les équations

[m — n] u -h [m — p) t =^ m, [m'—n']u + [m' — p')tz=m\ { m"— n")u-^[ m"—p" ) t = m", etc.

En combinant ensuite ces équations de la manière la plus avantageuse

pour déterminer u et t, on aura les corrections de la distance périhélie

et de l'instant du passage au périhélie, fondées sur l'ensemble de ces

observations. On en conclura les valeurs de ê, €', ê",. . . , cy, cr', rs"

et l'on aura

. tanggy(sin6' h- sin6''+. . .)— sinê(tangro' + langnî"H- . . . ) °"' " tangcj(cos6'-4- cosê"-h • • • ) — ces ê (langcj^+ langer" -f- . . . ) '

__ langer' -f- langci" -h . . .

^^^ ~ sin(ê' —j) + (sin6"- 7) + • . 7 '

38. Il existe un cas, à la vérité fort rare, dans lequel l'orbite d'une comète peut être déterminée d'une manière rigoureuse et simple : c'est le cas où la comète a été observée dans ses deux nœuds. La droite qui joint ses deux positions observées passe alors par le centre du Soleil, et se confond avec la ligne des nœuds. La longueur de cette droite est déterminée par le temps écoulé entre les deux observations; en nommant T ce temps, réduit en décimales de jour, et en désignant par c la droite dont il s'agit, on aura, par le n° 27,

Soit maintenant ê la longitude héliocentrique de la comète au moment de la première observation ; soient r son rayon vecteur, p sa distance à la Terre, et a sa longitude géocentrique. Soient encore R le rayon de l'orbe terrestre au même instant, et E la longitude correspondante du Soleil; on aura

rsinê = psina — RsinE,

r cos6 = p cosa — R cosE.