PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

TC -f- ê sera la longitude héliocentrique de la comète à l'instant de la seconde observation, et, si l'on marque d'un trait les quantités r, a, p, R et E, relatives à ce même instant, on aura

r' sine — R' sinE' — p' sina', r'cos6= R'cosE'— p'cosa'.

Ces quatre équations donnent

psina — RsinE p'sina' — R' sinE'

tangê = ■- jr -^ — ^, , — — — ,

pcosa— RcosE pcosa— RcosE

d'où l'on tire

RR'sin(E — E) -R'psin(a-E')

psin^a'— x) — Rsin(a' — E) On a ensuite

[r-r- r') sine =p sina — p' sina' — RsinE -i- E'sinE', '/•H- r') cosê = pcosa — p'cosa'— RcosE + R'cosE'.

En carrant ces deux équations, en les ajoutant ensuite, et substituant c au lieu de r -+- r', on aura

c2,,-R2 2RR'cos(E'-E)h R'2

+ 2p[R'cos(a— E') — Rcos(a— E)] -h2p'[R cos(a'— E) -R'cos(a'— E')] + p2— 2pp'cos(a'— a) + p'2.

Si l'on substitue dans cette équation, au lieu de p', sa valeur précédente en p, on aura une équation en p, du quatrième degré, que l'on pourra résoudre par les méthodes connues; mais il sera plus simple de supposer à p une valeur quelconque, d'en conclure la valeur de p', de substituer ces valeurs de p et de p' dans l'équation précédente , et de voir si elles y satisfont. Un petit nombre d'essais suffira pour déterminer avec précision p et p'.

Au moyen de ces quantités, on aura ê, r et r'. Si l'on nomme v l'angle que le rayon r fait avec la distance périhélie, que nous désignerons par D, TT — ç' sera l'angle formé par cette même distance et par le

254 MÉGANIQUE CÉLESTE.

rayon /-'; on aura ainsi, par le n° 23,

cos-4^p sin-'^t'

ce qui donne

r rr'

On aura donc l'anomalie v de la comète à l'instant de la première observation, et sa distance périhélie D, d'où il est facile de conclure la position du périhélie et l'instant du passage de la comète par ce point. Ainsi, des cinq éléments de l'orbite de la comète, quatre sont connus, savoir : la distance périhélie, la position du périhélie, l'instant du passage de la comète par ce point et la position du nœud. Il ne restera plus à connaître que l'inclinaison de l'orbite; mais pour cela il sera nécessaire de recourir à une troisième observation, qui servira d'ailleurs à choisir, parmi les différentes racines réelles et positives de l'équation en p, celle dont on doit faire usage.

39. La supposition du mouvement parabolique des comètes n'est pas rigoureuse; elle est même infiniment peu probable, vu le nombre infini des cas qui donnent un mouvement elliptique ou hyperbolique, relativement à ceux qui déterminent le mouvement parabolique. D'ailleurs une comète mue dans un orbe soit parabolique, soit hyperbolique, ne serait visible qu'une fois; ainsi l'on peut supposer avec vraisemblance que les comètes qui décrivent ces courbes, s'il en existe quelques-unes, ont depuis longtemps disparu, en sorte que nous n'observons aujourd'hui que celles qui, mues dans des orbes rentrants, sont ramenées sans cesse, à des intervalles plus ou moins grands, dans les régions de l'espace voisines du Soleil. On pourra par la méthode suivante déterminer, à quelques années près, la durée de leurs révolutions, lorsque l'on aura un grand nombre d'observations très-précises, avant et après le passage au périhélie.

Pour cela, supposons que l'on ait quatre ou un plus grand nombre de bonnes observations qui embrassent toute la partie visible de l'or-