CHAPITRE V

METHODES GÉNÉRALES POUR DÉTERMINER PAR DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES LES MOUVEMENTS DES CORPS CÉLESTES.

40. Nous n'avons considéré, dans la première approximation des mouvements des corps célestes, que les forces principales qui les animent, et nous en avons déduit les lois du mouvement elliptique. Nous aurons égard, dans les recherches suivantes, aux forces perturbatrices de ce mouvement. L'action de ces forces ne fait qu'ajouter des petits termes aux équations différentielles du mouvement elliptique, dont nous avons donné précédemment les intégrales finies : il faut maintenant déterminer par des approximations successives les intégrales des mêmes équations augmentées des termes dus à l'action des forces perturbatrices. Voici, pour cet objet, une méthode générale, quels que soient le nombre et le degré des équations différentielles dont on se propose de trouver des intégrales de plus en plus approchées.

Supposons que l'on ait, entre les n variables y, y\ y", ... et la variable t dont l'élément dt est regardé comme constant, les n équations différentielles

P, Q, P', Q, • • • étant des fonctions de t, y, y', • . . et de leurs différences jusqu'à l'ordre i — i inclusivement, et a étant un très-petit

OEuvres de L. — I, 33

coefficient constant, qui, dans la théorie des mouvements célestes, est de l'ordre des forces perturbatrices. Supposons ensuite que l'on ait les intégrales finies de ces équations, lorsque Q, Q', . . . sont nuls; en les différentiant chacune i — i fois de suite , elles formeront avec leurs différentielles in équations, au moyen desquelles on pourra déterminer par l'élimination les arbitraires c, c , c" , . . . , en fonction de t, y, y\ y", ... et de leurs différences jusqu'à l'ordre t ~ i . En désignant donc par V, V, V", . . . ces fonctions, on aura

Ces équations sont les in intégrales de l'ordre i — i que les équations

différentielles doivent avoir, et qui, par l'élimination des différences

des variables, donnent leurs intégrales finies.

Maintenant, ei l'on différentie les intégrales précédentes de l'ordre

« ~ 1 , on aura

o = </V, o^dy, o=^d\"

Or il est clair que, ces dernières équations étant différentielles de l'ordre i, sans renfermer d'arbitraires, elles ne peuvent être que les sommes des équations

multipliées chacune par des facteurs convenables pour que ces sommes soient des différences exactes. En nommant donc Ydt^ Y'di, ... les facteurs qui doivent multiplier respectivement ces équations pour former la suivante o = dY; en nommant pareillement Rdt, E'dt, . . . les facteurs qui doivent multiplier respectivement les mêmes équations pour former celle-ci o -- dY\ et ainsi du reste, on aura

dV=Hrf<(§+p)+H'd<(^ + P'