LIVRE II

F, F',..., H, H',..., etc. sont des fonctions de t, j, y\ y",... et de leursdifférences jusqu'à l'ordre i ~\\ il est facile de les déterminer lorsque

V, V, . . . sont connus; car F est évidemment le coefficient de -^ dans

la différentielle de V; F' est le coefficient de

dans la même diffé-

rentielle, et ainsi de suite. Pareillement, H, H', . . . sont les coefficients de -—■, ■—-, • • • dans la différentielle de V, etc. Ainsi, puisque l'on est supposé connaître les fonctions V, V, . . . , en les différentiant uniquement par rapport à , .y^ . ,:, ? • • • 5 on aura les facteurs par lesquels on doit multiplier les équations différentielles

O =: -T^ 4- P, O:^-^:-; hP, ...,

dt' dt'

pour avoir des différences exactes. Cela posé : Reprenons les équations différentielles

° = 7sf+P-^-Q. °-^ + P'+-Q''

dti

Si l'on multiplie la première par Ydt, la seconde par Y'dt, et ainsi du reste, on aura, en les ajoutant,

o = JV -f- a</f (FQ + F' 0' + ...);

on aura de la même manière

o ^^ rfV -h arff (HQ + H'Q' H- . . . ),

d'où l'on tire, en intégrant,

c-a/rff(FQ-t-F'Q' + ...)=V, c'-a/rff(HQ + H'Q'+...)=V',

On aura ainsi in équations différentielles qui seront de la même forme

que dans le cas où Q, Q, . . . sont nuls, avec la seule différence que les arbitraires c, c', c", . . . doivent être changées dans

Or, si, dans la supposition de Q, Q', . . . égaux à zéro, on élimine des in intégrales de Tordre i — i les différences des variables j, j', . . . , on aura les n intégrales finies des équations proposées; on aura donc ces mêmes intégrales, lorsque Q, Q', . . . ne sont pas nuls, en changeant dans les premières intégrales c, c\... dans c — xfdt{YQ-+- . . .), c'-xfdt{EQ+ ...),....