Si les différentielles

dt{VQ-{-¥'Q' \-.,.], dtUQ + UQ^.., ...

sont exactes, on aura par la méthode précédente les intégrales finies des équations différentielles proposées; mais cela n'a lieu que dans quelques cas particuliers, dont le plus étendu et le plus intéressant est celui dans lequel ces équations sont linéaires. Supposons ainsi P, P',... fonctions linéaires de y, j', . . . et de leurs différences jusqu'à l'ordre i — I, sans aucun terme indépendant de ces variables, et considérons d'abord le cas dans lequel Q, Q', . . . sont nuls. Les équations différentielles étant linéaires, leurs intégrales successives seront pareillement linéaires, en sorte que, c-=V, c' — V, ... étant les in intégrales de i — I des équations différentielles linéaires

V, v, . . . peuvent être supposés des fonctions linéaires de j, y' , ... et de leurs différences jusqu'à l'ordre i — r . Pour le faire voir, supposons, dans les expressions de j, j', . . . , la constante arbitraire c égale à une quantité déterminée, plus à l'indéterminée Se; la constante arbitraire c' égale à une quantité déterminée, plus à l'indéterminée Se', etc.; en réduisant ces expressions en séries ordonnées par rapport aux puis-