PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL

sances et aux produits de Se, }ic',..., on aura, par les formules du

'' de de 1.2 dv^

, ^, . ÔY' . , dY' ac2 d'-Y'

"^ de de 1 . 2 dc^

dY Y, Y', -:— 5 • • • étant des fonctions de t sans arbitraires. En substituant

de

ces valeurs dans les équations différentielles proposées, il est clair que, Se, Se', . . . étant indéterminés, les coefficients des premières puissances de chacun d'eux doivent être nuls dans ces diverses équations. Or, ces équations étant linéaires, on aura évidemment les termes affectés des

dY dY

premières puissances de Se, Se', . . . , en y substituant -y- Se + -p- Se'+ . . .

au lieu de y, -^ — Se4- -r-r Se'n- ... an lieu de j', etc. Ces expressions

de y, y', ■ ' ' satisfont donc séparément aux équations différentielles proposées, et, comme elles renferment les m arbitraires Se, Se', ... , elles en sont les intégrales complètes. On voit ainsi que les arbitraires existent sous une forme linéaire dans les expressions de y, y', . . . , et par conséquent aussi dans leurs différentielles; d'où il est aisé de conclure que les variables y, y', ■ • - et leurs différences peuvent être supposées sous une forme linéaire dans les intégrales successives des équations différentielles proposées.

Il suit de là que, F, F', . . . étant les coefficients de -~y ~jfr^'" ^^"^

la différentielle de V; H, H', . . . étant les coefficients des mêmes différences dans la différentielle de V, et ainsi du reste, ces quantités sont fonctions de la seule variable t. Partant, si l'on suppose Q, Q', . . . fonctions de t seul, les différences

fl?/(FQH-F'Q' + ...), rf/(BQ-i-H'Q'+...], ...

seront exactes.

De là résulte un moyen simple d'avoir les intégrales d'un nombre

quelconque n d'équations différentielles linéaires de l'ordre «', et qui renferment des termes quelconques aQ, aQ', . . . , fonctions de la seule variable t, lorsque l'on sait intégrer les mêmes équations dans le cas où ces termes sont nuls ; car alors, si l'on différentie leurs n intégrales finies i— i fois de suite, on aura in équations qui donneront, par l'élimination, les valeurs des in arbitraires c, c\... en fonction de t,y,y' ,... et des différences de ces variables jusqu'à l'ordre « — i. On formera ainsi les in équations

Cela posé, F, F', . . . seront les coefficients de , .f ? , .^ ^ • • ^ dans V;

H, H',... seront les coefficients des mêmes différences dans V, et ainsi du reste ; on aura donc les intégrales finies des équations différentielles linéaires

en changeant, dans les intégrales finies de ces équations privées de leurs derniers termes aQ, aQ', . . . , les arbitraires c, c', . . . dans

. c-aJ'dt{FQ-^¥'Q'-i-...), c- a/É?^(HQ + H'Q'-+-. . .),

Considérons, par exemple, l'équation différentielle linéaire

L'intégrale finie de l'équation o = -^ -h a^y est

r=: - sm«/ H cosaf,

c et c' étant arbitraires. Cette intégrale donne, en la différentiant,

-f - :; C cQsat — c' sina/.

at