PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL

Si l'on combine cette différentielle avec l'intégrale elle-même, on formera les deux intégrales du premier ordre

dy c = aysmat -h ~ cosa/,

c'=: aycosat — -^ sin«?;

ainsi l'on aura dans ce cas

F = cosaf, H =; — sin«f.

L'intégrale complète de la proposée sera donc

c . c' ^ acsmat ^^ ,, , ucosat ^^ ,, .

Il est facile d'en conclure que, si Q est composé de termes de la forme K . ' (mt-r- s), chacun de ces termes produira dans la valeur de y

le terme correspondant

aK sin , , ,

mt -+- Ê .

sîn

Si m est égal à a, le terme K. {mt -+- 1) produira dans j : i** le

terme — j-^ ■ [at h- e), qui, étant compris dans les deux termes

c . ^ c' ^ . .. ' 1- ' ,, 1 ^ i aK' COS. ^ ,

- sinaf H — cosa^, peut être neeli^e; 2" le terme ± • , [at-\- 1),

a a ^ o o ' 2 a sm ^ ''

le signe -f ayant lieu si le terme de l'expression de Q est un sinus, et le signe — ayant lieu si ce terme est un cosinus. On voit ainsi comment l'arc t se produit hors des signes sinus et cosinus dans les valeurs de j, j', . . . , par les intégrations successives, quoique les équations différentielles ne le renferment point sous cette forme. Il est clair que cela aura lieu toutes les fois que les fonctions FQ, F'Q', . . . , HQ, H'Q', . . . renfermeront des termes constants.

42. Si les différences c?^(FQ +...), c?/(HQ -h ...),.. . ne sont pas exactes, l'analyse précédente ne donnera point leurs intégrales rigou-

reuses; mais elle offre un moyen simple d'avoir des intégrales de plus en plus approchées, lorsque a est fort petit et lorsque l'on a les valeurs de y, y',.. . , dans la supposition de a nul. En différentiant ces valeurs i — i fois de suite, on formera les équations différentielles de l'ordre i— 1

C=rV, C'=V', ....

Les coefficients de

étant les valeurs de F, F', .

fonctions différentielles

<//(FQ-+-F'Q'^-..

• 5 dans les différentielles de V, Y\ .... H, H, . . . , on les substituera dans les

Ensuite on substituera dans ces fonctions, au lieu de y, y', . . . , leurs

premières valeurs approchées, ce qui rendra ces différences fonctions

de t et des arbitraires c, c\ Soient Tdt, Tdt, ... ces fonctions. Si

l'on change, dans les premières valeurs approchées de y, y', . . . , les

arbitraires c, c, . . . , respectivement dans c — ce f Tdt, c — ccJTdt, . . . ,

on aura les secondes valeurs approchées de ces variables.

On substituera de nouveau ces secondes valeurs dans les fonctions

différentielles

rf/;FQ-f-...), dt{EQ-

or il est visible que ces fonctions sont alors ce que deviennent celles-ci Idty Tdt, . . . , lorsque l'on y change les arbitraires c, c, . . . dans

c — cLjTdt, c — xfTdt, Soient donc T,, T , . . . ce que deviennent

T, T', . . . par ces changements : on aura les troisièmes valeurs approchées de y, y', ... , en changeant , dans les premières, c, c', . . . respectivement dans c — ot/T, dt, c — a/T dt, . . . .

Nommons pareillement T,^, T^,-.. ce que deviennent T, T', . . . , lorsque l'on y change c, c',... dans c — ccfT^dt, c'—oLfTdt,... : on aura les quatrièmes valeurs approchées de y, y', ... , en changeant, dans les premières valeurs approchées de ces variables, c, c, . . . dans c — ccfT^^dt, c'— xJT^dt, . . . , et ainsi de suite.