PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

Nous verrons ci-après que la détermination des mouvements célestes dépend presque toujours d'équations différentielles de la forme

Q étant une fonction rationnelle et entière de 7, de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps représenté par /. Voici le moyen le plus facile d'intégrer cette équation.

On supposera d'abord a nul, et l'on aura, par le numéro précédent, une première valeur de y.

On substituera cette valeur dans Q, qui deviendra ainsi une fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus d'angles proportionnels à t. En intégrant ensuite l'équation différentielle, on aura une seconde valeur de j, approchée jusqu'aux quantités de l'ordre a inclusivement. , On substituera de nouveau cette valeur dans Q, et, en intégrant l'équation différentielle, on aura une troisième valeur approchée de j, et ainsi de suite.

Cette manière d'intégrer par approximation les équations différentielles des mouvements célestes, quoique la plus simple de toutes, a cependant l'inconvénient de donner, dans les expressions des variables y, y',..., des arcs de cercle hors des signes sinus et cosinus, dans le cas même où ces arcs n'existent point dans les valeurs rigoureuses de ces variables; on conçoit en effet que, si ces valeurs renferment des sinus ou des cosinus d'angles de l'ordre vJ, ces sinus ou cosinus doivent se présenter sous la forme de séries dans les valeurs approchées que l'on trouve par la méthode précédente, puisque ces dernières valeurs sont ordonnées par rapport aux puissances de a. Ce développement en séries des sinus et cosinus d'angles de l'ordre cet cesse d'être exact lorsque, par la suite des temps, l'arc cet devient considérable; les valeurs approchées de j, y',... ne peuvent donc point s'étendre à un temps illimité. Comme il importe d'avoir des valeurs qui embrassent les siècles passés et à venir, le retour des arcs de cercle, que renferment les valeurs approchées, aux fonctions qui les produisent par leur développement en

OEwres de L. — \. 34

séries, est un problème délicat et intéressant d'Analyse. Voici, pour le résoudre, une méthode générale et fort simple.

43. Considérons l'équation différentielle de l'ordre i a étant très-petit, et P et Q étant des fonctions algébriques de y,

dy

di-iy

rf-, et de sinus et de cosinus d'angles croissant proportion-

dt ' ' dt^-^

nellement à t. Supposons que l'on ait l'intégrale complète de cette équation différentielle, dans le cas de a = o, et que la valeur de y, donnée par cette intégrale, ne renferme point l'arc t hors des signes sinus et cosinus; supposons ensuite qu'en intégrant cette équation par la méthode précédente d'approximation, lorsque a n'est pas nul, on ait

X, Y, Z, .. . étant des fonctions périodiques de /, qui renferment les I arbitraires c, c', c", . . . , et les puissances de t, dans cette expression de y, s'étendant à l'infini par les approximations successives. Il est visible que les coefficients de ces puissances décroîtront avec d'autant plus de rapidité que a sera plus petit. Dans la théorie des mouvements des corps célestes, x exprime l'ordre des forces perturbatrices, relativement aux forces principales qui les animent.

Si l'on substitue la valeur précédente de / dans la fonction

d'y dt'

ocQ,

elle prendra cette forme

X:, k\ k', . . . étant des fonctions périodiques de /; mais, par la supposition, la valeur de y satisfait à l'équation différentielle

On:=

dt