PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE TT

on doit donc avoir identiquement

Si k, k', k',... n'étaient pas nuls, cette équation donnerait, par le retour des suites, l'arc / en fonction de sinus et de cosinus d'angles proportionnels à /; en supposant donc a infiniment petit, on aurait t égal à une fonction finie de sinus et de cosinus d'angles semblables, ce qui est impossible; ainsi les fonctions k, k',,.. sont identiquement nulles.

Maintenant, si l'arc t n'est élevé qu'à la première puissance sous les signes sinus et cosinus, comme cela a lieu dans la théorie des mouvements célestes, cet arc ne sera point produit par les différences successives de r; en substituant donc la valeur précédente dey dans la

fonction -r^ -^ P + aQ, la fonction k ~h k't -^ . . . , dans laquelle elle

se transforme, ne contiendra l'arc t, hors des signes sinus et cosinus, qu'autant qu'il est déjà renfermé dans j; ainsi, en changeant, dans l'expression de y, l'arc t, hors des signes périodiques, dans / — 0, 6 étant une constante quelconque, la fonction k-\-k't -+-... se changera dans k -;- k[t — 0) -h ... , et, puisque cette dernière fonction est identiquement nulle, en vertu des équations identiques k ~ o, k'^^ o, . . , il en résulte que l'expression

satisfait encore à l'équation différentielle

Quoique cette seconde valeur de y semble renfermer i -h i arbitraires, savoir les i arbitraires c, c\ c\ ... et l'arbitraire 0, cependant elle ne peut en contenir que le nombre «qui soient distinctes entre elles. Il est donc nécessaire que, par un changement convenable dans les constantes c, c\ c", . .., l'arbitraire Ô puisse disparaître de cette seconde expression de j, et qu'ainsi elle coïncide avec la première. Cette considération va

nous fournir le moyen d'en faire disparaître les arcs de cercle hors des signes périodiques.

Donnons à la seconde expression de y la forme suivante

Puisque nous supposons que ô disparaît de y, on aura -^^ = o, et par conséquent

de

En différentiant successivement cette équation, on aura

de

de-^ de^ '

,dn\ ' de-i'

d'où il est facile de conclure, en éliminant R et ses différentielles de l'expression précédente de y,

d^ (t-ev^ d^\ it-e]^ d^x

de

de-^

r.2.3 de^

X est fonction de t et des constantes c, c' , c", . . . , et, comme ces constantes sont fonctions de 6, X est une fonction de t et de ô, que nous pouvons représenter par (p(ï, 9). L'expression de j est, par la formule {i) du n° 21, le développement de la fonction (p(^ 9 + ^—6) suivant les puissances de jf — 9; on a donc j - cp(^, 9); d'où il suit que l'on aura y, en changeant 9 en ^ dans X. Le problème se réduit ainsi à déterminer X en fonction de t et de 9, et par conséquent à déterminer c, c' , c", ... en fonction de 9.

Pour cela, reprenons l'équation

Puisque la constante 9 est supposée disparaître de cette expression de 7,