PREMIÈRE PARTIE. LIVRE II

on aura l'équation identique

En appliquant à cette équation le raisonnement que nous avons fait sur celle-ci, o -- k -\- k't -h k"t'^ h- . . . , on voit que les coefficients des puissances successives de f — 6 doivent se réduire d'eux-mêmes à zéro. Les fonctions X, Y, Z,... ne renferment ô qu'autant qu'il est contenu dans c, c',..., en sorte que, pour former les ditférences

partielles -j^^ —^ M^""' ^^ suffit de faire varier c, c',.., dans ces

fonctions, ce qui donne

dd ~

ÔX de âX de' ÔX ~ de de ^ de' de "^ de"

de"

de '^•••'

dY

dY de dY de' dY

de"

~ de de^ de' de "^ de"

de "■••'

Maintenant il peut arriver que quelques-unes des arbitraires c, c , c" ,... multiplient l'arc t dans les fonctions périodiques X, Y, Z, ... ; la différentiation de ces fonctions relativement à 0, ou, ce qui est la même chose, relativement à ces arbitraires, développera cet arc et le fera

sortir hors des signes des fonctions périodiques; les différences ^5

^TTî -v^' ••• seront alors de cette forme

de de

^--Y'+tY"

de '^ ^ '

de " -^ + '^ '

X', X", Y' , Y", Z', Z", . . . étant des fonctions périodiques de t, et renfermant de plus les arbitraires c, c\ c' , ... et leurs premières diffé-

rences divisées par â?0, différences qui n'entrent dans ces fonctions que sous une forme linéaire. On aura donc

dY de

^ =Z' -h6Z" + {t-0)Z'\ ad

En substituant ces valeurs dans l'équation (a), on aura

d'où l'on tire, en égalant séparément à zéro les coefficients des puissances de / — 6,

o = Y'+ôY" + X"-2Z, o-^-U -\-BT' -hY'' 3S,

Si l'on diff'érentie la première de ces équations i — i fois de suite par rapport à /, on en tirera autant d'équations entre les quantités c, c', c" , ... et leurs premières diff'érences divisées par c?0; en intégrant ensuite ces nouvelles équations par rapport à G, on aura ces constantes en fonction de 0. Presque toujours l'inspection seule de la première des équations précédentes suffira pour avoir les équations diff'érentielles en c, c', c", . . . , en comparant séparément les coefficients des sinus et des cosinus qu'elle renferme; car il est visible que, les valeurs de c, c,... étant indépendantes de t, les équations diff'érentielles qui les déterminent doivent pareillement en être indépendantes. La simplicité que cette considération apporte dans les calculs est un des principaux avantages de cette méthode. Le plus souvent, ces équations ne seront