X- y- 3cy xy

les deux dernières, agissant en sens contraire, se détruisent; les deux premières, agissant dans le même sens, s'ajoutent et forment la résultante z\ on aura donc

d'où il suit que la résultante des deux forces ^ et j est représentée, pour la quantité, par la diagonale du rectangle dont les côtés représentent ces forces.

Déterminons présentement l'angle 0, Si l'on fait croître la force x, de la différentielle dx, sans faire varier la force y, cet angle diminuera d'une quantité infiniment petite d^ ; or on peut concevoir la force dx décomposée en deux, l'une dx' dirigée suivant s, et l'autre dx" perpendiculaire à s; le point M sera donc alors sollicité par les deux forces z -t- dx' et dx" perpendiculaires entre elles, et la résultante de ces deux forces, que nous nommerons z\ fera avec dx" l'angle

- — </8; on aura ainsi, par ce qui précède,

dx"^z' <^{^- - (¥j\\

la fonction cpf^ — <^B) est par conséquent infiniment petite et de la

forme —kd^, k étant une constante indépendante de l'angle 0; on a donc

dx"

z' est, à un infiniment petit près, égal k 2; de plus, dx" formant avec

dx l'angle - — 0, on a

partant

kz-

Si l'on fait varier la force y de dy, en supposant x constant, on aura la variation correspondante de l'angle 6, en changeant dans l'équation

précédente x en y, y en x, et 6 dans ^ — 6; ce qui donne

kz-

en faisant donc varier à la fois x et y, la variation totale de l'angle 6

a:dr — ydx . ,, sera — ^-7—^7 5 et 1 on aura

xdy — ydx

kdB.

Substituant pour z^ sa valeur x"^ -^-y"^ et intégrant, on aura

p étant une constante arbitraire. Cette équation, combinée avec celle-ci

x^ -h-y^ = c^, donne

Il ne s'agit plus que de connaître les deux constantes ^ et p; or, si l'on suppose y nul, on a évidemment z = x et 6 = o; donc cosp = i et X = zcosk^. Si l'on suppose x nul, on a z=y et G = ^tc; cos^O étant alors égal à zéro, k doit être égal k 211 -h i, n étant un nombre entier, et dans ce cas x sera nul toutes les fois que 0 sera égal à

— - — ; mais, X étant nul, on a évidemment 6 = -x; donc 271 -h i = i,

ou /i = o, et, par conséquent,

x = zcosO.