PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I

De là il suit que la diagonale du rectangle construit sur les droites qui représentent les deux forces oo ety représente non-seulement la quantité, mais encore la direction de leur résultante. Ainsi l'on peut, à une force quelconque, substituer deux autres forces qui forment les côtés d'un rectangle dont elle est la diagonale; et il est facile d'en conclure que l'on peut décomposer une force en trois autres qui forment les côtés d'un parallélépipède rectangle dont elle est la diagonale.

Soient donc a, b, c les trois coordonnées rectangles de l'extrémité de la droite qui représente une force quelconque, et dont l'origine est celle des coordonnées; cette force sera exprimée par la fonction \l a^ -'- b'^ -Y- c^ , et, en la décomposant parallèlement aux axes des a, des b et des c, les forces partielles seront exprimées respectivement par ces coordonnées.

Soient a', b' , c' les coordonnées d'une seconde force; a h- a' , b -h 6', c + c' seront les coordonnées de la résultante des deux forces, et représenteront les forces partielles dans lesquelles on peut la décomposer parallèlement aux trois axes; d'où il est aisé de conclure que cette résultante est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces.

En général, a, b, c; a', b', c' ; a", b'\ c";... étant les coordonnées d'un nombre quelconque de forces, a -+- a' -h a"+ . . . , è -f è'+ è"-h . . . , c + c'-h c"-h . . . seront les coordonnées de la résultante, dont le carré sera la somme des carrés de ces dernières coordonnées ; on aura donc ainsi la grandeur et la position de cette résultante.

2. D'un point quelconque de la direction d'une force S, point que nous prendrons pour l'origine de cette force, menons au point matériel M une droite, que nous nommerons s; soient se, y, z les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position du point M, et a, b, c les coordonnées de l'origine de la force; on aura

\^[x —- ay^-r- [y — b\^-\- [z — c]

Si l'on décompose la force S parallèlement aux axes des œ, des y et

OEuvres de L. — I. 2

des z, les forces partielles correspondantes seront, par le numéro précéident,

j: — a ^ y — b ^z—.c ds ds ùs

s s s Ox ôy^ OZ

--■> j-y -T- exprimant, suivant la notation reçue, les coefficients des

variations ^x, Sj, ^z, dans la variation de l'expression précédente de s.

Si l'on nomme pareillement s' la distance de M à un point quelconque

de la direction d'une autre force S', pris pour l'origine de cette force,

S'-r- sera cette force décomposée parallèlement à l'axe des x, et ainsi

de suite; la somme des forces S, S', S", . . ., décomposées parallèlement

à cet axe, sera donc 2S-— ? la caractéristique 1 des intégrales finies

exprimant ici la somme des termes S -r- ^ S' -r- , — * Ox Ox

Soient V la résultante de toutes les forces S, S', . . . , et w la distance

du point M à un point de la direction de cette résultante, pris pour son

origine ; V -^ sera l'expression de cette résultante décomposée parallèlement à l'axe des x; on aura donc, par le numéro précédent.

ox Ox

On aura pareillement

àr-

Ojr Oz Oz

d'où l'on tire, en multipliant respectivement ces trois équations par ^x, fyf ^z, et en les ajoutant ensemble,

[a] ' \du~lS$s;

cette dernière équation ayant lieu, quelles que soient les variations ^o?, 8y, Sjz, elle équivaut aux trois précédentes. Si son second membre est la variation exacte d'une fonction ç, on aura V^m = Sç, et par conséquent