PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL

intégrables que par des approximations successives, qui pourront introduire l'arc 6 hors des signes périodiques, dans les valeurs de c, c'

alors même que cet arc ne se rencontre point ainsi dan^ les intégrales rigoureuses; mais on le fera disparaître par. la méthode que nous venons d'exposer.

Il peut arriver que la première des équations précédentes et ses i — I différentielles en t ne donnent point un nombre i d'équations distinctes, entre les quantités c, c , c", ... et leurs différences. Dans ce cas, il faudra recourir à la seconde équation et aux suivantes.

Lorsque l'on aura ainsi déterminé les valeurs de c, c' , c\ ... en fonction de 6, on les substituera dans X, et, en y changeant ensuite 0 en t, on aura la valeur de j, sans arcs de cercle hors des signes périodiques, lorsque cela est possible. Si cette valeur en conservait encore, ce serait une preuve qu'ils existent dans l'intégrale rigoureuse.

44. Considérons présentement un nombre quelconque n d'équations différentielles

P. Q, P'» Q, • . . étant des fonctions de y, y', . . . de leurs différentielles jusqu'à l'ordre i — \, et de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement à la variable t dont la différence est supposée constante. Supposons que les intégrales approchées de ces équations soient

X, Y, Z, . . . , X,, Y,, Z, étant des fonctions périodiques de /, et renfermant les in arbitraires c, c' , c", On aura, comme dans le numéro

précédent,

O=nY'H-0Y"H-X"-2Z,

La valeur de -y' donnera pareillement des équations de cette forme

"^ o = y; + eY;'+x;-o,z„

Les valeurs de y"., y'", . . . fourniront des équations semblables. On déterminera par ces diverses équations, en choisissant les plus simples et les plus approchées, les valeurs de c, c', c", ... en fonction de 6 : en substituant ces valeurs dans X, X,, ... , et en y changeant ensuite 6 en t, on aura les valeurs de j, /',..., sans arcs de cercle hors des signes périodiques, lorsque cela est possible.

45. Reprenons la méthode que nous avons exposée dans le n^ 40. Il en résulte que, si, au lieu de supposer les paramètres c, c', c", . . . constants, on les fait varier en sorte que l'on ait

de - - adt[¥Q -i-F'(^^-h . . .), dc'=: - arf/(HQ+ H'Q -h . . . ,

on aura toujours les m intégrales de l'ordre i — i

comme dans le cas de a nul; d'où il suit que non-seulement les intégrales finies, mais encore toutes les équations dans lesquelles il n'entrera que des différences inférieures à l'ordre i conserveront la même forme, dans le cas de a nul et dans celui de a quelconque, .puisque ces équations peuvent résulter de la comparaison seule des intégrales précédentes de l'ordre i — i. On pourra donc également, dans ces deux cas, différentier i— i fois de suite les intégrales finies, sans faire varier c, c,'..., et, comme on est libre de faire varier tout à la fois, il en résultera des équations de condition entre les paramètres c, c, . . . et leurs différences.

Dans les deux cas de a nul et de a quelconque , les valeurs de y, j, . . . et de leurs différences jusqu'à l'ordre i — i inclusivement sont