PREMIERE PARTIE. - LIVRE IL

les mêmes fonctions de t et des paramètres c, c' , c", ... ; soit donc Y une fonction quelconque des variables y, y' , y", ... et de leurs différentielles inférieures à l'ordre i — i, et nommons T la fonction de t dans laquelle elle se change, lorsque l'on y substitue, au lieu de ces variables et de leurs différences, leurs valeurs en /. On pourra difTérentier l'équation Y = T, en y regardant les paramètres c, c', c",... comme constants; on pourra même ne prendre que la différence partielle de Y relativement à une seule ou à plusieurs des variables y, j, . . . , pourvu que l'on ne fasse varier dans T que ce qui varie avec elles. Dans toutes ces différentiations, les paramètres c, c', c", . . . peuvent toujours être traités comme constants, puisqu'en substituant, pour j, j',... et leurs différences, leurs valeurs en t, on aura des équations identiquement nulles, dans les deux cas de a nul et de a quelconque.

Lorsque les équations difierentielles sont de l'ordre i — i, il n'est plus permis, en les différentiant, de traiter les paramètres c, c', c", . . . comme constants. Pour différentier ces équations, considérons l'équation (p = o, <p étant une fonction différentielle de l'ordre « — i, et qui renferme les paramètres c, c', c", ... ; soit Sç la différence de cette fonction, prise en regardant c, c, . . . comme constants, ainsi que les

différences d^^^y, d'-*y', Soit S le coefficient de ^-^ dans la dif-

férence entière de o; soit S' le coefficient de -7:7— ■ dans cette même différence, et ainsi du reste. L'équation 9 = 0, différentiée, donnera

En substituant au lieu de -j-^ sa valeur —<//(? 4- aQ), au lieu de -3-^ sa valeur — o?/(P'-i- aQ), etc., on aura

'/) or.^Ô9H--^-î^c+|'?-</c'-+-...-c//(SP+S'P'+...)-arf/(SQ + S'Q'-t-...).

ôc de'

Dans la supposition de a nul, les paramètres c, c', c",... sont constants; on a ainsi

o = acp-rff(sp-f-s'P'+...)-

OEiiiTes de L. — i. • -35

Si l'on substitue dans cette équation, au lieu de c, c', c" , . . . , leurs valeurs V, V, V",..., on aura une équation différentielle de Tordre 2 — 1, sans arbitraires, ce qui est impossible, à moins que cette équation ne soit identiquement nulle. La fonction

ô(p- Jf(SP-f-S'P'+...)

devient donc identiquement nulle , en vertu des équations c = V, c' = V', ..., et, comme ces équations ont encore lieu lorsque les paramètres c, c', c", . . . sont variables, il est visible que, dans ce cas, la fonction précédente est encore identiquement nulle; l'équation (/) deviendra donc

' de de ^ ^ ,

On voit ainsi que, pour différentier l'équation <p = o, il suffît de faire varier dans <p les paramètres c, c', . . . et les différences ^'~'y, </'"'/',..., et de substituer, après les différentiations, — aQ, — aQ',...,

au lieu des quantités -^» -— -

Soit t}; = o une équation finie entre j, y', ... et la variable t\ si l'on désigne par ^, S^(|^,... les différences successives de ^j^, prises en regardant c, c ,... comme constants, on aura, par ce qui précède, dans le cas même où c, c, . . . sont variables, les équations suivantes

en changeant donc successivement, dans l'équation [x), la fonction 9 en vl, S^l^, S^tj^, ..., on aura

oc de

o -- —^ de H- -T-j- de -+-..., de de

de de' \ df dy' )

Ainsi, les équations 4' = o» <j/'=o,... étant supposées être les n inté-