CHAPITRE VI
SECONDE APPROXIMATION DES MOUVEMENTS CÉLESTES, OU THÉORIE DE LEURS PERTURBATIONS.
46. Appliquons maintenant les méthodes précédentes aux perturbations des mouvements célestes, pour en conclure les expressions les plus simples de leurs inégalités périodiques et séculaires. Reprenons pour cela les équations différentielles (i), (2) et (3) du n° 9, qui déterminent le mouvement relatif de m autour de M. Si l'on fait
m' [ xx'-\- fx'-h zz' ) m" [ xx" -\- yy" -\- zz"
{-r/'i ^v"-^ -V- 7"-iV
\ étant, par le numéro cité, égal à
mm
mm
si, de plus, on suppose
M-4-m=a, et r= y/^2 | j2 | 32^ f' =. ^ x"^ -^ y"^ -\- z' '^ , ...,
on aura
d'^x fxx dR
d^y fxy dR
°^ 'dt^'^J^'^ d^'
d^z az dR dt^ ^ r^ ^ dz
La somme de ces trois équations, multipliées respectivement par dx, dy, dz, donne, en l'intégrant,
la différentielle dR étant uniquement relative aux coordonnées x, y, z du corps m, et a étant une constante arbitraire qui, lorsque R est nul, devient, par les n°* 18 et 19, le demi-grand axe de l'ellipse décrite par m autour de M.
Les équations (P), multipliées respectivement par x, j, z, et ajoutées à l'intégrale (Q), donneront
Maintenant on peut concevoir les masses perturbatrices m\ m", . . . multipliées par un coefficient a, et alors la valeur de r sera fonction du temps / et de a. Si l'on développe cette fonction par rapport aux puissances de a, et que l'on fasse a = i après ce développement, elle sera ordonnée par rapport aux puissances et aux produits des masses perturbatrices. Désignons par la caractéristique ^, placée devant une quantité, la différentielle de cette quantité, prise par rapport à a et divisée par dx. Lorsque l'on aura déterminé ?)r dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de a, on aura le rayon r en multipliant cette suite par dx, en l'intégrant ensuite par rapport à a, et en ajoutant à cette intégrale une fonction de t indépendante de a, fonction qui est évidemment la valeur de r dans le cas où les forces perturbatrices sont nulles et où le corps m décrit une section conique. La détermination de r se réduit donc à former et à intégrer l'équation différentielle qui détermine ^r.
Pour cela, reprenons l'équation différentielle (R), et faisons, pour
plus de simplicité,
ÔR dR dR dx '^ dy dz
