PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

en la différen liant par rapport à a, on aura

(S) 0= -^^ - 4- I^-i-o./ôdR + ô.rR.

Nommons dv l'arc infiniment petit intercepté entre les deux rayons vecteurs retr-hdr; l'élément de la courbe décrite par m autour de M sera \/dr^ -+- r^ dv"^ ; on aura ainsi

dx"^ + dy^' + dz^- = dr^ + r^dv^,

et l'équation (Q) deviendra

r^dv'-\-dr- iix u .,,

" = sr V + « -*- "•^'"'-

En éliminant - de cette équation, au moyen de l'équation (R), on aura

r^dv- rd-r ^.

dt'^

-^— H- ^ + rR', dt^ r

d'où l'on tire, en différentiant par rapport à x, 9.r^dvdèv rd'^àr—àrd^r "àu.ràr

rôR'-R'ôr.

df^ dt^ r-i

Si l'on substitue dans cette équation, au lieu de ^^-5— ? sa valeur tirée de l'équation (S), on aura

d{drèr-^9.rddr]+dt^3fèdK-\-9.rèR'^-Wèr)

dài>

'•"dv

On pourra, au moyen des équations (S) et (T), avoir aussi exactement que l'on voudra les valeurs de ^r et de ^ç^; mais on doit observer que, dv étant l'angle intercepté entre les rayons r et r + rfr, l'intégrale v de ces angles n'est pas dans un même plan. Pour en conclure la valeur de l'angle décrit autour de M par la projection du rayon vecteur r sur un plan fixe, désignons par ^, ce dernier angle, et nommgns s la tan-

gente de la latitude de.m au-dessus de ce plan; r(i -hs^)'^ sera l'ex-

pression du rayon vecteur projeté, et le carré de l'élément de la courbe décrite par m sera

fifr2 +

mais le carré de cet élément est f^dv^ h- rfr^; on aura donc, en égalant ces deux expressions.

dv.

On déterminera ainsi dv^ au moyen de dvy lorsque s sera connu.

Si l'on prend pour plan fixe le plan de l'orbite de m à une époque

ds . . ,

donnée, * et -r- seront visiblement de l'ordre des forces perturbatrices;

en négligeant donc les carrés et les produits de ces forces, on aura V ~ V. Dans la théorie des planètes et des comètes, on peut négliger ces carrés et ces produits, à l'exception de quelques termes de cet ordre, que des circonstances particulières rendent sensibles, et qu'il sera facile de déterminer au moyen des équations (S) et (T). Ces dernières équations prennent une forme plus simple, lorsque l'on n'a égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices. En effet, on peut alors considérer %r et Sç' comme les parties de r et de ç' dues à ces forces; ^R, ^.rR' sont ce que deviennent R et rR', lorsque l'on y substitue, au lieu des coordonnées des corps, leurs valeurs relatives au mouvement elliptique; nous pouvons les désigner par ces dernières quantités assujetties à cette condition. L'équation (S) devient ainsi

Le plan fixe des œ et des y étant supposé celui de l'orbite de m à une époque donnée, z sera de l'ordre des forces perturbatrices, et, puisque

l'on néglige le carré de ces forces, on pourra négliger la quantité z -r-

De plus, le rayon r ne diffère de sa projection que de quantités de l'ordre 2^. L'angle que ce rayon fait avec l'axe des x ne diffère de sa