PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL
projection que de quantités du même ordre; cet angle peut donc être supposé éi^al à v, et l'on a, aux quantités près du même ordre.
rcost', /=:/'SJnr
d'où l'on tire
dR
dx
dR
- y — = r ■^ df dr
et par conséquent rR'= ^rr • H est facile de s'assurer par la différen-
tiation que, si l'on néglige le carré de la force perturbatrice, l'équation différentielle précédente donnera, en vertu des deux premières des équations (Pj,
rèr
X fxdt (../dR + r ^) - j fxdt (2/dR
dr
xdy — Y dx dt
Dans le second membre de cette équation; les coordonnées peuvent se
, , ^ dy* — y* doc
rapporter au mouvement elliptique, ce qui donne , -^ — constant
et égal, par le n° 19, à \j\ha{i — e-j, ae étant l'excentricité de l'orbite de m. Si l'on substitue dans l'expression de r^r, au lieu de x et de y,
leurs valeurs rcosç' et rsin^', et, au lieu de — j__TJ^^ \^ quantité \J]jm[\ — é^)\ enfin, si l'on observe que, par le n° 20, p- -- w'■*«^ on aura
a cosr / ndtr sin v 2 /"dR + r -^r-\ — a sine / ndtr cost' (2 TdR + /'-r-
(X) ar= l ^-~ ^ L Ll ^
/tx y' I — e 2
L'équation (T) donne, en l'intégrant et en négligeant le carré des forces perturbatrices.
ôt; =
-irddr^drèr 3a
«2 n dt fj.
ffndtdR-] / ndtr
dR
dr
cette expression donnera facilement les perturbations du mouvement de m en longitude, lorsque celles du rayon vecteur seront déterminées.
Œuvres de L. — \. 36
Il nous reste à déterminer les perturbations du mouvement en latitude. Pour cela, nous reprendrons la troisième des équations (P); en l'intégrant comme nous avons intégré l'équation (S), et faisant z=^^rh, nous aurons
M dz
Z) as
J àz J
h est la latitude de m au-dessus du plan de son orbite primitive : si Ton veut rapporter le mouvement de m sur un plan peu incliné à cette orbite, en nommant s sa latitude lorsqu'il est supposé ne point quitter le plan de cette orbite, s -{-h sera à très -peu près la latitude de m au-dessus du plan proposé.
47. Les formules (X), (Y) et (Z) ont l'avantage de présenter sous une forme finie les perturbations, ce qui est très-utile dans la théoril' des comètes, dans laquelle ces perturbations ne peuvent être déterminées que par des quadratures; mais le peu d'excentricité et d'inclinaison respective des orbites des planètes permet de développer leurs perturbations en séries convergentes de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps, et d'en former des Tables qui peuvent servir pour un temps indéfini. Alors, au lieu des expressions précédentes de ^r et de h^ il est plus commode de faire usage des équations différentielles qui déterminent ces variables. En ordonnant ces équations par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, on peut toujours réduire la détermination des valeurs de Sr et de h à l'intégration d'équations de la forme
dt^
équations dont nous avons donné les intégrales dans le n° 42. Mais on peut donner immédiatement cette forme très-simple aux équations différentielles précédentes, par la méthode suivante.
