PREMIERE PARTIE. - LIVRE IL

Reprenons l'équation R; du numéro précédent, en y faisant, pour abréger,

Q ^ a/dR -i- r

elle devient ainsi

fR')

2 clt^ r a

Dans le cas du mouvement elliptique, où Q —o, r- est, par le n° 22, fonction de e cos {nt -h s. — vs), ae étant l'excentricité de l'orbite et nt 1- £ — CI étant l'anomalie moyenne de la planète m. Soit ecos{nt-+- £ — tr) = M, et supposons r^ = ?(^^ ? on aura

dt^'

Dans le cas du mouvement troublé, nous pouvons supposer encore jr^ — ^)(i^j; mais u ne sera plus égal à ecos(nt-\- 1 — u); il sera donné par l'équation différentielle précédente augmentée d'un terme dépendant des forces perturbatrices. Pour déterminer ce terme, nous observerons que, si l'on fait m - ^(r^), on aura

~dr-

dV-

dt-

^|/'(r^) étant la différentielle de J'(r^) divisée par </.r% et '^"{r'^) étant la

d- r^ différentielle de <J'(r^) divisée par d.r'-. L'équation (R) donne ' égal

à une fonction de r, plus à une fonction dépendante de la force perturbatrice. Si l'on multiplie cette équation par 2rdr, et qu'ensuite on l'in-

tëgre, on aura — tt^- égal à une fonction de r, plus à une fonction dépendante de la force perturbatrice. En substituant ces valeurs de \'

et de . dans l'expression précédente de ■jtt H'*""» la fonction de r indépendante de la force perturbatrice disparaîtra d'elle-même, puisqu'elle est identiquement nulle lorsque cette force est nulle; on

aura donc la valeur de -j-^ h- n^Uy en substituant dans son expression,

au lieu de -^ et de , ■> les parties de leurs expressions qui dépendent de la force perturbatrice. Or, en n'ayant égard qu'à ces parties, l'équation (R'j et son intégrale donnent

~^^ = -8fQrdn

partant

^^ + n'u= ~ 9.Q^' [r^] - S'])" {r^)fQrdr,

Maintenant, de l'équation u--<\>{r^) on tire du — ^rdr^^r"^); celle-ci r^ = (P(m) donne irdr= du^'{u), et par conséquent

En différentiant cette dernière équation, et substituant cp'(M) au lieu

j j.rdr

de — î — 1 on aura du

(P"(m) étant égal à ^^ ■ de même que <p'(w) est égal à —^-^. Cela

posé, si l'on fait

u = e ces [nt -h t — Tjj) -+- du,

l'équation différentielle en u deviendra

^~ ^ïTT- -f-n-'ÔM — ^-^,-^fQduo'iu) 4- ~^-

et, si l'on néglige le carré de la force perturbatrice, u pourra être supposé égal à ccos(n^-h t — xs) dans les termes dépendants de Q.