AT
en Sm, et que l'on restitue au lieu de Q sa valeur 2/dR + r^^
et ecos(«? 4- £ — cj) au lieu de m, on aura, aux quantités près de l'ordre e%
d'eu
dK
X') -; ——.\ [i-'f-|e2 — ecos(n^H-£ — ïn)— {e2cos(2«/H-2£ — 2Gj)] ( a/dR -t- /• -y-; j
— ^ / wf/; sin(n/
£ — ct) [i+ ecos(w/ + £ — ^J)](?./dR^-/•
f)RY
Lorsque l'on aura déterminé ^u au moyen de cette équation différentielle, on aura (V en différentiant l'expression de r par rapport à la caractéristique (i, ce qui donne
drz= — aôa[i+ ^e- + 2ecos(n^ + £ — nr) -l-fe^ ces (^n/H- ?.€ — -Ara)].
Cette valeur de ^r donnera la valeur de ^v, au moyen de la formule (Y) du numéro précédent.
Il nous reste à déterminer h; or, si l'on compare les formules (X) et (Z) du numéro précédent, on voit que ^r se change en h en chan-
â1{ dît
géant, dans son expression, 2/dR + r — en -r-i d'où il suit que, pour
avoir h, il suffit de faire ce changement dans l'équation différentielle en 8w, et de substituer ensuite la valeur de ^m, donnée par cette équation
et que nous désignerons par W, dans l'expression de ^r. On aura ainsi
iZ')
[i-\-iè- — e CCS ^nt ^- e — gt ' — -fe- cos ' -iiit - 2 e — 2 eu il -^ -
— 1 n</f sin{«/-f-e — nr [1-1 e cos z^/ £ -cc ]
Ô5= — aôa'[n-f e2-^-2ecos;n/ + e — cî' -i-'e^ cos(2n/ 4-2£ — 2iîj)].
Le système des équations (X'), (Y), (Z') donnera d'une manière fort simple le mouvement troublé de m, en n'ayant égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice. La considération des termes dus à cette puissance étant à très-peu près suffisante dans la théorie des planètes, nous allons en tirer des formules commodes pour déterminer le mouvement de ces corps (').
48. Il est nécessaire, pour cela, de développer la fonction R en série. Si l'on n'a égard qu'à l'action de m sur m', on a, par le n" 46,
m' [xx -\-yy' ^ zz") m'
(]ette fonction est entièrement indépendante de la position du plan
des X et des j; car, le radical v .^ — ^f ~^\y' ~yf "+ l^ ~~^)'' exprimant la distance de m à m', il en est indépendant; la fonction
^2 -\-yi -I- z2 ^ ^'2 -x.y'i -+- z'2 .. '},xx' - lyy' — IZZ'
en est donc pareillement indépendante; mais les carrés x^ H.r^ -t- z^ et œ'^ i .x"* -î z"^ des rayons vecteurs ne dépendent point de cette po-
(•1 Dans l'édition publi(^e {)ar le Gouvcrnomeat français, on trouve à la fin du tome V, pour le n° 47 du Livre II, une correction indiquée par r Auteur dans les termes suivants :
« L'équation iZ') du dernier alinéa de ce numéro n'est exacte qu'en négligeant l'excentricité et le carré de l'inclinaison de l'orbite. C'est avec cette restriction qu'elle a été employée dans tout l'Ouvrage. 11 faut sujjprimer cet alinéa et y substituer ces mots : L'équation (Z) du numéro précédent donnera, d'une manière fort simple, la valeur de ^.v. »
( Note de t' Éditeur. 1
