LIVRE IL

sition; la quantité œw' -i- yv' ^ zz' n'en dépend donc pas, et par conséquent la fonction R en est indépendante. Supposons dans cette fonction

a: = r.cos v, y =: r sin v, ^'=: r'cost'', j''=r'sinf';

) H- zz''\ m!

on aura

in\ rr' cosfi^'

[r^ — irr' cos(f'— v) + r'^ +

Les orbes des planètes étant presque circulaires et peu inclinés les uns aux autres, on peut choisir le plan des x et des y de manière que z et z' soient très-petits. Dans ce cas, r et r' diffèrent très-peu des demigrands axes a et a' des orbes elliptiques; nous supposerons donc

r=«{iH-M,), r'=:a'(t+M|),

M et m' étant des petites quantités. Les angles v eiv' différant peu des longitudes moyennes nt 4- £ et n't H- s', nous supposerons

V = lit -+- e -\- c,, v'=2 n't + £'+ f| ,

v^ et ^'' étant des angles peu considérables. Ainsi, en réduisant R dans une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de m ,

v^, z, û , v^ çX z', cette série sera fort convergente. Soit

—r; cosfn'^ — nt -^ z' — e^

\^a- — laa' GOs{n't — nt -V- z' — z) -^- a"^\ -

:^^A(o)-i- AO ) ces (n'^ — n^ + £'—£) -^ k.^^-^ cosi[n' t — nt + t — e) + A(3)cos3(w7 — w^-f-e'— s) +. . .;

on peut donner à cette série la forme

|2A(') cosi[n't — nt-h s'— s),

la caractéristique 1 des intégrales finies étant relative au nonjbre i, et devant s'étendre à tous les nombres entiers, depuis i = —- oo jusqu'à i = cc , la valeur {~- o étant comprise dans ce nombre infini de valeurs; mais alors il faut observer que A^~'^ = A''^ Cette forme a l'avan-

tage de servir à exprimer d'une manière fort simple, non-seulement la série précédente, mais encore le produit de cette série par le sinus ou le cosinus d'un angle quelconque // i- ct; car il est facile de voir que ce produit est égal à

i2A(') ^*" [i[n't - ni -f- s'- s) -hft + crr].

Cette propriété nous fournira des expressions très-commodes des perturbations du mouvement des planètes. Soit pareillement

[a- — laa! cos[n't — nt -\- e'—e] -+- a'-l '^ = ^2B(') cos/(/i7 — /// -+- e — e), B^~'^ étant égal à B^'K Cela posé, on aura, par les théorèmes du n° 21,

R— — 2A(''cos/>'f - n/H-£'— e)

-\ u.za — r — cosiin t —- nt -+■ e - e

2 ' da ^

m' ,^ ,dA(') ., , , ,

H uza ^ , cosiin t — nt -h s — e^

[v', — v,)2i iA(''> sin i[n' t — nt + t — e )

+ -T- uf Za^ . ., cosi'/i t — nt -\- e — e)

-\ u,u,2taa -^ — t— t- cosï « t — nt + e — e i

2 ' dada ^

-f- -7- «/za 2 - cosi n 7 — «/ + e — e

4 aa -^

[v, — v,]u,2iia -^ — sm 1 1 n i — «^ H- e — £

2 ^ ' " oa

[v, — v,\ u,Zia , , smi{n t -- nt-^ t — e)