PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I. tt

c'est-à-dire que la somme de toutes les forces S, S, . . ., décomposées parallèlement à l'axe des x, est égale à la différence partielle -p- Ce cas

a généralement lieu lorsque ces forces sont respectivement fonctions de la distance de leur origine au point M. Alors, pour avoir la résultante de toutes ces forces, décomposée parallèlement à une droite quelconque, on prendra l'intégrale 2/SS.y, et, en nommant 9 cette intégrale, on la considérera comme une fonction de x et de deux autres droites perpendiculaires entre elles et à ^r; la différence partielle -— sera la résultante des forces S, S', . . . , décomposée parallèlement à la droite x.

3. Lorsque le point M est en équilibre en vertu de toutes les forces qui le sollicitent, leur résultante est nulle, et l'équation [a] devient

[h] o = 2SoX

c'est-à-dire que, dans le cas de l'équilibre d'un point sollicité par un nombre quelconque de forces, la somme des produits de chaque force par l'élément de sa direction est nulle.

Si le point M est forcé d'être sur une surface courbe, il éprouvera de sa part une réaction, que nous désignerons par R. Cette réaction est égale et directement contraire à la pression que le point exerce sur la surface; car, en le concevant animé des deux forces R et — R, on peut supposer que la force — R est détruite par la réaction de la surface, et qu'ainsi le point M presse la surface avec la force — R. Or la force de pression d'un point sur une surface lui est perpendiculaire; autrement elle pourrait se décomposer en deux, l'une perpendiculaire à la surface, et qui serait détruite par elle, l'autre parallèle à la surface, et en vertu de laquelle le point n'aurait point d'action sur cette surface, ce qui est contre la supposition; en nommant donc r la perpendiculaire menée par le point M à la surface, et terminée à un point quelconque de sa direction, la force R sera dirigée suivant cette perpendiculaire : il faudra donc ajouter RSr au second membre de l'équation [h], qui devient ainsi

(c) o^iSc)5 + Rôr;

— R étant alors la résultante de toutes les forces S, S',..., elle est perpendiculaire à la surface.

Si l'on suppose que les variations arbitraires ^x, Sj, ^z appartiennent à la surface courbe sur laquelle le point est assujetti, on a, par la nature de la perpendiculaire à cette surface, §r=o, ce qui fait disparaître RSr de l'équation précédente : l'équation (b) a donc encore lieu dans ce cas, pourvu que l'on élimine l'une des trois variations ^x, Sj, ^z au moyen de l'équation à la surface; mais alors l'équation {b), qui dans le cas général équivaut à trois équations, n'équivaut plus qu'à deux équations distinctes, que l'on obtient en égalant séparément à zéro les coefficients des deux différentielles restantes. Soit m = o l'équation de la surface ; les deux équations V = o et ^u = o auront lieu en même temps, ce qui exige que Srsoit égal à N(^m, N étant fonction de x,y, z. Pour la déterminer, nommons a, b, c les coordonnées de l'origine de r;

on aura

,, , ,, ,. /dr\2 (drY (dry

d OU 1 on tire (^1 -H (^) +(t") = i, et par conséquent

en faisant donc

le terme RSr de l'équation (c) se changera dans l^u, et cette équation deviendra

équation dans laquelle on doit égaler séparément à zéro les coefficients des variations }ix, fy, Sz, ce qui donne trois équations; mais elles n'équivalent qu'à deux équations entre x, y, z, à cause de l'indéterminée X qu'elles renferment. On peut donc, au lieu d'éliminer de l'équation (b) une des variations Ix, Sj, Iz au moyen de l'équation différentielle à la surface, lui ajouter cette équation multipliée par une indéterminée 'k,

et considérer alors les variations ^cc, Sj, ^z comme indépendantes. Cette méthode, qui résulte encore de la théorie de l'élimination, réunit à l'avantage de simplifier le calcul celui de faire connaître la pression — R que le point M exerce contre la surface.

Concevons ce point renfermé dans un canal à simple ou à double courbure; il éprouvera de la part de ce canal une réaction que nous désignerons par k, et qui sera égale et directement contraire à la pression que le point exerce contre le canal , et dont la direction sera perpendiculaire au côté du canal. Or la courbe formée par ce canal est l'intersection de deux surfaces dont les équations expriment sa nature ; on peut donc considérer la force k comme la résultante des deux réactions R et R' que le point M éprouve de la part de chacune des surfaces, puisque, les directions des trois forces R, R' et k étant perpendiculaires au côté de la courbe, elles sont dans un même plan. En nommant ainsi c5r et §r' les éléments des directions des forces R et R', directions respectivement perpendiculaires à chaque surface, il faudra ajouter à l'équation {b) les deux termes R^retR'^r', ce qui la change dans celle-ci

[d) o=r2SÔ5 + Rôr+R'(3r'.

Si l'on détermine les variations §^, ly, Iz de manière qu'elles appartiennent à la fois aux deux surfaces, et par conséquent à la courbe formée par le canal, Sr et Sr' seront nuls, et l'équation précédente se réduira à l'équation (b), qui par conséquent a encore lieu dans le cas où le point M est assujetti à se mouvoir dans un canal ; pourvu qu'au moyen des deux équations qui expriment la nature de ce canal, on fasse disparaître deux des variations ^x, ly, '^z.

Supposons que m == o et w' = o soient les équations de deux surfaces dont l'intersection forme le canal; si l'on fait

-^ \Tz)

\ \àx)

(du' Y

l'équation [d, deviendra

o = 2 Soi -i- \èu + V eu',

équation dans laquelle on égalera séparément à zéro les coefficients de chacune des variations ^, fy, Sz; on aura ainsi trois équations au moyen desquelles on déterminera les valeurs de 1 et de 1\ qui donneront les réactions R et R' des deux surfaces; et, en les composant, on aura la réaction k du canal sur le point M, et par conséquent la pression que ce point exerce contre le canal. Cette réaction, décomposée parallèlement à l'axe des x, est égale à

t^ Or n,àr' y . ()« ., du'

R -T — h R -7- î ou a / -r h >. -T- ;

ox ox Ox ux

les équations de condition u = o, m' = o, auxquelles le mouvement du point M est assujetti, expriment donc, au moyen des différences partielles des fonctions qui sont nulles en vertu de ces équations, les résistances que le mobile éprouve en vertu des conditions de son mouvement. On voit, par ce qui précède, que l'équation {h) de l'équilibre a généralement lieu, pourvu que l'on assujettisse les variations Ix, ^j, Sz aux conditions de l'équilibre. Cette équation peut se traduire dans le principe suivant :

Si l'on fait varier infiniment peu la position du point M, en sorte qu'il reste toujours sur la surface ou sur la courbe qu'il doit suivre s'il n'est pas entièrement libre, la somme des forces qui le sollicitent, multipliées chacune par l'espace que le point parcourt suivant sa direction, est égale à zéro, dans le cas de l'équilibre.

Les variations ^x, ^y, %z étant supposées arbitraires et indépendantes, on peut dans l'équation [a] substituer aux coordonnées x,y, z trois autres quantités qui en soient fonctions, et égaler les coefficients des variations de ces quantités k zéro. Nommons ainsi p le rayon mené de l'origine des coordonnées à la projection du point M sur le plan des X et des y, et ct l'angle formé par p et par l'axe des x; nous aurons

j; = pcosiij, / = psincj.