PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL
Si l'on substitue dans cette expression de R, au lieu de u^, u\, v, v\, z et z, leurs valeurs relatives au mouvement elliptique, valeurs qui sont fonctions de sinus et de cosinus des angles nt -h e, n't -\- s' et de leurs multiples, R sera exprimé par une suite infinie de cosinus de la forme
m'kcos[i'n't — int -h A),
i et /' étant des nombres entiers.
Il est visible que l'action des corps m", m"',... sur m produira dans R des termes analogues à ceux qui résultent de l'action de m', et que l'on obtiendra, en changeant dans l'expression précédente de R tout ce qui est relatif à m' dans les mêmes quantités relatives à m", m'",
Considérons un terme quelconque m' k cos {i' n' t — int -h A) de l'expression de R. Si les orbites étaient circulaires et dans un même plan, on aurait i'= i; donc i' ne peut surpasser i ou en être surpassé qu'au moyen des sinus ou des cosinus des expressions de w , ç^, , z, ù, v\ , z' , qui, en se combinant avec les sinus et les cosinus de l'angle Tï!t — nt-\-t — t et de ses multiples, produisent des sinus et des cosinus d'angles dans lesquels /' est différent de i.
Si l'on regarde les excentricités et les inclinaisons des orbites comme des quantités très-petites du premier ordre, il résulte des formules du n*' 22 que, dans les expressions de m,, v^, z ou rs, s étant la tangente de la latitude de m, le coefficient du sinus ou du cosinus d'un angle tel que f[nt-\- e) est exprimé par une série dont le premier terme est de l'ordre /, le second terme de l'ordre /-h 2, le troisième terme de l'ordre f-\-l\, et ainsi de suite. Il en est de même du coefficient du sinus ou du cosinus de l'angle /'(w'^ H- s'), dans les expressions de u\, v\, z'. Il suit de là que, i et i' étant supposés positifs, et i' plus grand que i, le coefficient k dans le terme m'kcos{i'n't — int + A) est de l'ordre i'— i, et que, dans la série qui l'exprime, le premier terme est de l'ordre i — i, le second terme est de l'ordre i'~ i -+- 2, et ainsi de suite, en sorte que cette série est fort convergente. Si i était plus grand que i\ les termes de la série seraient
OF.uvres de L. — 1. S'y
successivement des ordres i — i', i ~ i-\- 2, — Il en serait de même si i était négatif dans le premier cas, ou i' dans le second (*).
Nommons nr la longitude du périhélie de l'orbite de m, et 9 celle de son nœud; nommons pareillement w' la longitude du périhélie de Torbite de m', et ô' celle de son nœud, ces longitudes étant comptées sur un plan très-peu incliné à celui des orbites. Il résulte des formules du n" 22 que, dans les expressions de m,, ç», et z, l'angle nt-\- t est toujours accompagné de — ct ou de — 0, et que, dans les expressions de u, , v, et z', l'angle n't ■+- s' est toujours accompagné de — cj' ou de — 9'; d'où il suit que le terme m'kcos{i'n't — int -{- A) est de cette forme
m'kcos'i'n't — int -+- i'e'~~ iz — gxjs — g' rs' — g" Q ~ g"'0'),
gf g', g", g'" étant des nombres entiers positifs ou négatifs, et tels que l'on a
Cela résulte encore de ce que la valeur de R et ses différents termes sont indépendants de la position de la droite d'où l'on compte les longitudes. De plus, dans les formules du n" 22, le coelficient du sinus et du cosinus de l'angle ct a toujours pour facteur l'excentricité e de l'orbite de m; le coefficient du sinus et du cosinus de l'angle 2cy a pour facteur le carré e^ de cette excentricité, et ainsi de suite. Pareillement, le coefficient du sinus et du cosinus de l'angle 9 a pour facteur tang^<p, (p étant l'inclinaison de l'orbite de m sur le plan fixe; le coefficient du sinus et du cosinus de l'angle 29 a pour facteur tang^^ç, et ainsi du reste; d'où il résulte que le coefficient k a pour
facteur
e^e'^' lang^'^9 tang^^'^ç',
les nombres g, g% g", g'" étant pris positivement dans les exposants de ce facteur. Si tous ces nombres sont positifs en eux-mêmes, ce fac-
(*) La phrase : Il en serait de môme, etc., qui termine cet alinéa, ne se trouve pas dans rédition de l'an Vil; elle a été ajoutée dans l'édition de 1829.
