PREMIÈRE PARTIE, - LIVRE IL

teur sera de l'ordre i'— i, en vertu de l'équation

mais, si l'un d'eux, tel que g, est négatif et égal à — ^, ce facteur sera de l'ordre i'— i-\- 2g. En ne conservant donc, parmi les termes de R, que ceux qui, dépendant de l'angle i'n't — int^ sont de l'ordre i'— «, et en rejetant tous ceux qui, dépendant du même angle, sont des ordres i'— i-\- 1, i' — i -\- ^, . . . , l'expression de R sera composée de termes de la forme

He^e'S"'tang^"^9tangS'"'^(p'cos(i'n7 — m/ + /'£' — /£ — §• cj — g- V — g-'^ô— g-'" 0'),

H étant un coefficient indépendant des excentricités et des inclinaisons des orbites, et les nombres g, g\ g", g'" étant tous positifs, et tels que leur somme soit égale à i'— i.

Si l'on substitue, dans R, «(i + m,) au lieu de r, on aura

<?R dR or oa

Si, dans cette même fonction, on substitue, au lieu de m,, t', et z, leurs valeurs données par les formules du n*^ 22, on aura

dv de

pourvu que l'on suppose e — cy et e — 9 constants dans la différentielle de R prise par rapport à s; car alors m,, v^ et z sont constants dans cette différentielle, et, comme on a ç z= nt -h t -h v^^ il est clair que l'équation précédente a lieu. On pourra donc obtenir facilement les

valeurs de r-^ et de -r- qui entrent dans les équations différentielles

des numéros précédents, lorsque l'on aura la valeur de R développée en série de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps t. La différentielle dR sera pareillement très -facile à déterminer, en observant de ne faire varier dans R que l'angle nt^ et de supposer l'angle n't constant, puisque dR est la différence de R, prise en supposant constantes les coordonnées de m', qui sont fonctions de n't.

49. La difficulté du développement de R en série se réduit à former les quantités A^'^ B^'^ et leurs différences prises soit relativement à a, soit relativement à a'. Pour cela, considérons généralement la fonction

(a' — 2 «a' ces 9 + a' a)--',

et développons-la suivant les cosinus de l'angle 9 et de ses multiples.

Si l'on fait — = a, elle deviendra a

a'-is ( I 2 a ces Q + a" )-t.

Soit

(i— 2acos0 + a2)-f=^6j"^ + b['^ cos9 + ôf ^ cosaô + 6f ^ cos39 + . ..,

hs , bs , bs' ,. .. étant des fonctions de a et de s. Si l'on prend les

différences logarithmiques des deux membres de cette équation par rapport à la variable 9, on aura

— isasmB — b\*^ smO — ib^"^^ smiQ — . . .

1—1 oc ces Q -\- «2 '~ p^)+l>pT^ 5^+6(2) COS2 0 H- . . . '

En multipliant en croix et comparant les cosinus semblables, on trouve généralement

ia) ^(i){i-i){i + a')bi'-'^-{i + s-i)abi^~'\

on aura ainsi o, , 6j , . . . lorsque 1 on connaîtra bs et bs •

Si l'on change s en * + i , dans l'expression précédente de (i— 2acos9 + a^)-*, on aura

{i-2acos9 + x^)-s--> = ^b'';^,-hbi\!, cose-hbl^J, cosiO-hbl'^, cos3ô-f-. . . .

En multipliant les deux membres de cette équation par i — 2a cos9 -\- «', et en substituant, au lieu de (i — 2acos9 -f- 0,^)"^ sa valeur en série, on aura

ib['^-+-b^s^ COSen-éf C0S2ÔH-...= (l-2a cosÔH-a«) (|Al+\-t-*^.Vi C08Ô + 6it\ co32Ô+ôii\cos3ô-