PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL

On voit ainsi que, pour déterminer les valeurs de bs et de ses différences successives, il suffit de connaître celles de hs et de hs . On déterminera ces deux quantités de la manière suivante.

Si l'on nomme c le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, on pourra mettre l'expression de \~^ sous cette forme

Ji-^ = ( I - a c^ -v^^^)-^ ( I — a c-9 \^=^)-^

En développant le second membre de cette équation par rapport aux puissances de c^^ et de c-^^'~\ il est visible que les deux exponentielles c'^v^~' et c"'^^-* auront le même coefficient, que nous désignerons par k. La somme des deux termes kd^"^ et X;/?""'^^-' est 2^cosi6;

ce sera la valeur de bs cosî9; on aura donc bs = 2k. Maintenant l'ex pression de >.~^ est égale au produit des deux séries

en multipliant donc ces deux séries l'une par l'autre, on aura, dans le cas de i = o,

et, dans le cas de ï = i ,

k-—-oc[s-\-s

partant

b, :^2[i + 5^a^+^-i^)a^ + ( ^ ^^;^^^3 ^)ae+...J,

Pour que ces séries soient convergentes, il faut que a soit moindre que l'unité; c'est ce que l'on peut toujours faire, en prenant pour a le rapport de la plus petite des distances a et a' à la plus grande; ainsi,

ayant supposé a = — ? nous supposerons a plus petit que a! .

Dans la théorie du mouvement des corps m, m' , m", . . . , on a besoin

de connaître les valeurs de bs et de bs , lorsque s = { et ^ = |. Dans ces deux cas, ces valeurs sont peu convergentes, si a n'est pas une petite fraction. Ces séries convergent avec plus de rapidité, lorsque * = — ^, et l'on a

.(0) /iV , /ï-A- , /I.I.3V „ /I.I.3.5V .

Dans la théorie des planètes et des satellites, il suffira de prendre la somme des onze ou douze premiers termes, en négligeant les termes suivants, ou plus exactement, en les sommant comme une progression géométrique dont la raison est a^. Lorsque l'on aura ainsi déterminé b i et b t, on aura bt , en faisant i = o et s= —^ dans la formule {b), et l'on trouvera

Si, dans la formule (c), on suppose i = i et 5 = — ^, on aura

b^'> - IL II.

Au moyen de ces valeurs de bi et de bi , on aura, par les formules précédentes, les valeurs de b± et de ses diff'érences, quel que soit le nombre 1, et l'on en conclura les valeurs de bs et de ses différences.