LIVRE II

on a donc généralement

b[^^ cos6 + b[^^cos2e

d'où l'on tire

dm da

a"^ doc

da-

a'^ dot?

De plus, B''^ étant une fonction homogène de a et de à , de la dimension — 3, on a

da'

d'où il est facile de conclure les différences partielles de B^'^ prises relativement à a\ au moyen de ses différences partielles en a.

Dans la théorie des perturbations de m' par l'action de m, les valeurs de A^'^ et de B^'^ sont les mêmes que ci-dessus, à l'exception de àS*\

qui dans cette théorie devient — ^ ^< • Ainsi le calcul des valeurs

de A''\ B^'^ et de leurs différences sert à la fois pour les théories des deux corps m et m'.

50. Après cette digression sur le développement de R en série, reprenons les équations différentielles (X'), (Y) et (Z') des n°'46 et 47, et déterminons à leur moyen les valeurs de Ir, ^ç^ et Is, en portant la précision jusqu'aux quantités de l'ordre des excentricités et de& inclinaisons des orbites.

Si, dans les orbes elliptiques, on suppose

V =znt -[-&■+■ V,, v' =^n't -\-t' -\-v\ ,

on aura, par le n° 22,

«,=: — ecos(n/-+- e — cj), u\=. — e' cos[n' t -\- e'— gt'), t', = 2esin(/i^H- e — cj), ♦'^ = 2e'siii(/i7H- e'— a?'),

nt-^- £, n't-r- z étant les longitudes moyennes de m et de m'; a et a' étant les demi-grands axes de leurs orbites; e et e' étant les rapports des excentricités aux demi-grands axes; enfin, ct et cj' étant les longitudes de leufs périhélies. Toutes ces longitudes peuvent être rapportées indifféremment aux plans mêmes des orbites ou à un plan qui leur est fort peu incliné, puisque l'on néglige les quantités de l'ordre des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons. En substituant les valeurs précédentes dans l'expression de R du n*' 48, on aura

m' R = — 2 A('> cosi («'/ - nt + e'— e)

m' „r dA('^ •4/,il r-i lA A • \ A -\ 2 a-- H- 21 A(" ccos[z(w7 — «Y + e — e) -+- w/ + e — nrj

-— 2ra'^^^-2(i-i)A('-')le'cos[i{/i7-/i/+6'-e)+n/ + e-CT')],

le signe 1 des intégrales finies s'étendant à toutes les valeurs entières, positives et négatives, de i, en y comprenant la valeur i = o. De là on tire

H 2 «—r ! r A('> cosi «7 — n/ + e — e

2 L da n — » J '

«' -T-;; — *- 3a — ; — ecos(«/-f- e — cr

2 L "''f da \ ^ '

m' ( ,d2A(«) dA(«) ' , dX(') , .,\ , , , ,,

[aa -r—T-r ■+■ 2a —r h 2a -^-, — h iA(*ne cosint ■+- g — cj'

2 \ dada da da ) ^ '

2 L <^« "^ /(n — /t)— n\ da /J

X ecos[i(re'/ - nt -h e'— t) -h nt-h e — gj]

2 L dada ^ da i[n — n)—n\ oa ^ ' /J

X e' cos\i{n't — nt -h e'— e) -^ nt -h e — gt'],

le signe intégral 1 s'étendant, comme dans ce qui suit, à toutes les