PREMIERE PARTIE. - LIVRE IL

La partie constante de l'expression de (—77)' développée- en série de

cosinus de l'angle nt + z et de ses multiples, se réduisant à l'unité, comme on l'a vu dans le n^ 22, il en résulte, dans l'expression de

la longitude, le terme — fndtfôR. Si dR renfermait un terme con-

stant km'ndt, ce terme produirait, dans l'expression de la longitude ^>,

le suivant kn'^t^. L'existence de semblables termes dans cette

expression se réduit donc à voir si dR renferme un terme constant.

Lorsque les orbites sont peu excentriques et peu inclinées les unes aux autres, on a vu (n° 48) que R peut toujours se réduire dans une suite infinie de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps t. On peut les représenter généralement par le terme km' cos [i'n't-\- int + X),'i et i' étant des nombres entiers positifs ou négatifs, ou zéro. La différentielle de ce terme, prise uniquement par rapport au moyen mouvement de m, est — ikm'ndtûxi[i'n't -hint-\- X)\ c'est la partie de dR relative à ce terme; elle ne peut pas être constante, à moins que l'on n'ait o = i'n'^ in, ce qui suppose les moyens mouvements des corps m et m' commensurables entre eux; et, comme cela n'a point lieu dans le système solaire, on doit en conclure que la valeur de dR ne renferme point de termes constants, et qu'ainsi, en ne considérant que la première puissance des masses perturbatrices, les moyens mouvements des coi'ps célestes sont uniformes, ou, ce qui revient au

même, -^ = o. La valeur de a étant liée à celle de n au moven de dt

l'équation n- = -^^ il en résulte que, si l'on néglige les quantités périodiques, les grands axes des orbites sont constants.

Si les moyens mouvements des corps m et m\ sans être exactement commensurables, approchent cependant beaucoup de l'être, il existera, dans la théorie de leurs mouvements, des inégalités d'une longue période, et qui pourront devenir fort sensibles, à raison de la petitesse du diviseur a^. Nous verrons dans la suite que ce cas est celui de Jupiter et de Saturne. L'analyse précédente donnera d'une manière fort

simple la partie des perturbations qui dépend de ce diviseur. Il en résulte qu'il suffit alors de faire varier la longitude moyenne nt -\- e ou

jndt, de la quantité — /nr/^/dR; ce qui revient à faire croître /^,

dans l'intégrale jndl, de la quantité jdR; or, en considérant l'orbite de m comme une ellipse variable, on a /i^ — -i^; la variation précédente de n introduit donc dans le demi-grand axe a de l'orbite la vanation =^

Si l'on porte dans la valeur de -r- la précision jusqu'aux quantités

de l'ordre des carrés des masses perturbatrices, on trouvera des termes proportionnels au temps; mais, en considérant avec attention les équations différentielles du mouvement des corps m, m\ . . . , on s'assurera facilement que ces termes sont en même temps de l'ordre des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites. Cependant, comme tout ce qui affecte le moyen mouvement peut à la longue devenir fort sensible, nous aurons dans la suite égard à ces termes, et nous verrons qu'ils produisent les équations séculaires observées dans le mouvement de la Lune.

55. Reprenons maintenant les équations (j) et (2) du n" 53, et suj)posons

elles deviendront

^= (O, I;/-|Vl]/',

^ =— (o, i)AH-[o,-r|A'.

Les expressions de (o, i) et de [o, t] peuvent être déterminées fort simplement de cette manière. En substituant, au lieu de C et <le 1),