PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL

Soient g, ^,, ^2» • • • les i racines de l'équation en g-, soit N, N', N", . - . le système des indéterminées relatif à la racine g\ soit N,, N'^, N'^, . . . le système des indéterminées relatif à la racine g^, et ainsi de suite : on aura, par la théorie connue des équations différentielles linéaires,

A :=:N sin(g-;+ ê) -FNisinfg-f^H-êi) +N2 sin(g-2^+ 62) +• • ., A' = N'sin{g-/ + ê)H-N',sin(g-,; + ê,)+N'oSin(g-2^ + ê2) +•• -, A"= N"sin (g-f + ê) + N'; sin (g-, / + êi ) + N'^ sin (g-a f + 62 ) + • • - ,

ê, ê<, ^2,... étant des constantes arbitraires. En changeant, dans ces valeurs de h, h\ h",..., les sinus en cosinus, on aura les valeurs de /, /', /", Ces différentes valeurs renferment deux fois autant d'arbitraires qu'il y a de racines g, gs, g^,...; car chaque système d'indéterminées renferme une arbitraire, et, de plus, il y a « arbitraires ê, ê<, êa, . . . ; ces valeurs sont par conséquent les intégrales complètes des équations (A) du numéro précédent.

Il ne s'agit plus maintenant que de déterminer les constantes N, N, , . . . ; N', N'^ , . . . ; ê, ê< , Les observations ne donnent point immédiatement ces constantes; mais elles font connaître, à une époque donnée, les excentricités e, é ,... des orbites, et les longitudes w, ct', . . . de leurs périhélies, et par conséquent les valeurs de A, A', ...,/,/',... ; on en tirera ainsi les valeurs des constantes précédentes. Pour cela, nous observerons que, si l'on multiplie la première, la troisième, la cinquième,... des équations différentielles (A) du numéro précédent respectivement par Nw ^a, N'm' sja' ,..., on aura, en vertu des équations (B) et des relations trouvées dans le numéro précédent entre (o, i) et (i, o), (o, 2) et (2, o),. ..,

N ^ m v'â + N' ^ m' v^-f N'' ^- m" ^V + . . . = g- ( N /m v/« + N7' w' v/^ + ^"i"ni" y'"^ + . . . ) . Si l'on substitue dans cette équation, au lieu de h, h',..., l, /',..., leurs

valeurs précédentes, on aura, en comparant les coefficients des mêmes

cosinus,

o = NN, m v/â -+■ N'N', m'v/«^ + N"N'; m" sR' + . ■ ■ ,

o = NNa m sfa H- N'N'aw' v/«^+ ^"^\m" sfaT ^

Cela posé, si l'on multiplie les valeurs précédentes de A, h' , . .. respectivement par Nm v^, N'm'sfâ' , ... , on aura, en vertu de ces dernières équations,

N mA v^ H- N'm'A' s/'^ + N"m"A" y/V' -+-...

On aura pareillement

N m/ /â + N'mT y/^ h- N"m"/" y^ h- . . .

= (N^m v/^ -f- N'2m' v/^+ N''5/n'V«^+ . . .) cos(g-^ + 6).

En fixant l'origine du temps / à l'époque pour laquelle les valeurs de h,

/, A', /',... sont supposées connues, les deux équations précédentes

donnent

N /im /â H- N'A'm V«^ + N"A"'w" v^' -h . . .

langé —

N Im si a + N7'm' sl'a' + N'7"m" v/«" + • • •

Cette expression de tangê ne renferme point d'indéterminée; car, quoique les constantes N, N', N",... dépendent de l'indéterminée W-*\ cependant, comme leurs rapports à cette indéterminée sont connus par ce qui précède, elle disparaît de l'expression de tang€. Ayant ainsi déterminé ê, on aura N''"'^ au moyen de l'une des deux équations qui donnent tang€, et l'on en conclura le système des indéterminées N, N', N", ... relatif à la racine g. En changeant, dans les expressions précédentes, cette racine successivement en ^, , ^2» ^3» • • • . on aura les valeurs des arbitraires relatives à chacune de ces racines.

Si l'on substitue ces valeurs dans les expressions de A, /, A', /',..., on en tirera les valeurs des excentricités e, e',. . . des orbites, et des