PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL

longitudes ct, ct', . . . de leurs périhélies, au moyen des équations

tangcj=^5 langnT=y-5 •••; on aura ainsi

e2 =^ N2 + N? + N^ + . . . H- 2NN, cos[(g-, - g-) ^ + ê< - g]

+ 2NN2COs[(g-2— g-)f + S2 — ê] + 2N,N2C0s[(g-2— g-O^ + êa — o,]-^.. .

Cette quantité est constamment plus petite que (N + N, + Nj + . . .)^» lorsque les racines g, g\y • sont toutes réelles et inégales, en prenant positivement les quantités N, N, , — On aura pareillement

Nsin(g-^-Ho) + N< sin(g-<^ + ê<) +N2 sin(g-2 ^+ 62) + • • -, angGT— ]\rcQs^g.^^gj ^]v,cos(g-iiH- êO +N2Cos(g-2 < + 62) +• • • '

d'où il est facile de conclure

tan^(„o-, ^^ N.sin[(g-,-g-)f + g,-6] + N2sin[(g-2-g-)fH-g2-ê)-t-... idug^nj ^t ''^~N+N<cos[(g-,-g-)f + g^-g]+N2COs[(g-2-g-)^+g2-g]-+-...

Lorsque la somme N, + N2-l-... des coefficients des cosinus de ce dénominateur, pris tous positivement, est moindre que N, tang(r7 — gt — ^) ne peut jamais devenir infini; l'angle x:s ~ gt — ^ ne peut donc jamais alors atteindre le quart de la circonférence, en sorte que Ip vrai moyen mouvement du périhélie est, dans ce cas, égal à gt.

57. Il suit de ce qui précède que les excentricités des orbites et les positions de leurs grands axes sont assujetties à des variations considérables, qui changent à la longue la nature de ces orbites, et dont les périodes, dépendantes des racines g, ^,, ^2»---» embrassent, relativement aux planètes, un grand nombre de siècles. On peut ainsi considérer les excentricités comme des ellipticités variables, et les mouvements des périhélies comme n'étant pas uniformes. Ces variations sont trèssensibles dans les satellites de Jupiter, et nous verrons dans la suite

qu'elles expliquent les inégalités singulières observées dans le mouvevement du troisième satellite. Mais les variations des excentricités ont-elles des limites, et les orbites sont-elles constamment peu différentes du cercle? C'est ce qu'il importe d'examiner. Nous venons de voir que, si les racines de l'équation en g sont toutes réelles et inégales, l'excentricité e de l'orbite de m est toujours moindre que la somme N + N, -h Na + . . . des coefficients des sinus de l'expression de h, pris positivement; et, comme ces coefficients sont supposés fort petits, la valeur de e sera toujours peu considérable. En n'ayant donc égard qu'aux variations séculaires, on voit que les orbites des corps m, m', m", ... ne feront que s'aplatir plus ou moins, en s'éloignant peu de la forme circulaire; mais les positions de leurs grands axes éprouveront des variations considérables. Ces axes seront constamment de la même grandeur, et les moyens mouvements qui en dépendent seront toujours uniformes, comme on l'a vu dans le n° 54. Les résultats précédents, fondés sur le peu d'excentricité des orbites, subsisteront sans cesse, et pourront s'étendre à tous les siècles passés et à venir; en sorte que l'on peut alors affirmer que, dans aucun temps, les orbites des planètes et des satellites n'ont été et ne seront considérablement excentriques, du moins si l'on n'a égard qu'à leur action mutuelle. Mais il n'en serait pas de même si quelques-unes des racines g, g,, gi, . . ' étaient égales ou imaginaires; les sinus et les cosinus des expressions de A, /, h' y /',..., correspondants à ces racines, se changeraient alors en arcs de cercle ou en exponentielles, et, comme ces quantités croissent indéfiniment avec le temps, les orbites finiraient, à la longue, par être fort excentriques; la stabilité du système planétaire serait alors détruite, et les résultats que nous avons trouvés cesseraient d'avoir lieu. Il est donc très-intéressant de s'assurei'que les racines g, gtf gn,... sont toutes réelles et inégaks. C'est ce que l'on peut démontrer d'une manière fort simple pour le cas de la nature, dans lequel les corps m, m\ m", ... du système circulent tous dans le même sens.

Reprenons les équations (A) du n** 55. Si l'on multiplie la première par m si a. h, la seconde par m^a.l, la troisième par m'sja'.h', la