PREMIERE PARTIE. - LIVRE II
quatrième par m \]a' ./',..., et qu'ensuite on les ajoute ensemble, les coefficients de hl, h'l\ h"l'\ . . . seront nuls dans cette somme; le coefficient de h'I—hl sera | o, 1 1 m y^a — 1 1 , o | m' y^ , et il sera nul, en
vertu de l'équation | o, i ] m sja = \i,o\m' sja' , trouvée dans le n° 55
Les coefficients de h"l—hl% h"l'~ lil" ,. .. seront nuls par la même raison; la somme des équations (A) ainsi préparées se réduira donc à l'équation suivante
hdh-hldl r- li'dh'^l'dl' , r-y
— ^^— mva-i ^^— m v/«+...-o,
et par conséquent à celle-ci
o = ede.m y a -\- é de' . m' sjà + . . . .
En intégrant cette équation et en observant que, par le n° 54, les demigrands axes a, a\ . . , sont constants, on aura
( M ) e2 m \la + e' - m' si a! 4- e"'^ m" y/ a" + ... = consl.
Maintenant, les corps m, m' , m", . . . étant supposés circuler dans le même sens, les radicaux \a, \jà , sJa",... doivent être pris positivement dans l'équation précédente, comme on l'a vu dans le n° 55; tous les termes du premier membre de cette équation sont donc positifs, et par conséquent chacun d'eux est moindre que la constante du second membre; or, en supposant à une époque quelconque les excentricités très-petites, cette constante sera fort petite; chacun des termes de l'équation restera donc toujours fort petit, et ne pourra pas croître indéfiniment; les orbites seront toujours à fort peu près circulaires.
Le cas que nous venons d'examiner est celui des planètes et des satellites du système solaire, puisque tous ces corps circulent dans le même sens, et qu'à l'époque où nous sommes leurs orbites sont peu excentriques. Pour ne laisser aucun doute sur ce résultat important, nous observerons que, si l'équation qui détermine g renfermait des
Œuvres de L. — \. ^7.
racines imaginaires, quelques-uns des sinus et des cosinus des expressions de h, /, A', /',... se changeraient en exponentielles; ainsi l'expression de h contiendrait un nombre fini de termes de la forme Pc-^% c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et P étant une quantité réelle, puisque h ou esincj est une quantité réelle. Soient Qc^^ P'c-^', Q'c-^', P"c-^S... les termes correspondants de /, A', /', h",...; Q, P', Q', P",... étant encore des quantités réelles : l'expression de e^ renfermera le terme (P^ h- Q^)c^-^'; l'expression de é^ renfermera le terme (P'^h-Q'^)c^^S et ainsi de suite; le premier membre de l'équation (u) renfermera donc le terme
[(Pa -i- Q2) m v/^ + (P'2 4- Q'2) m' v^4- (P"2 -+- Q''^) m" y/^ + . . .] c^A.
Si l'on suppose que c^' soit la plus grande des exponentielles que contiennent h, l, h\ /',..., c'est-à-dire celle dans laquelle /est le plus considérable, c^^^ sera la plus grande des exponentielles que renfermera le premier membre de l'équation précédente; le terme précédent ne pourra donc être détruit par aucun autre terme de ce premier membre; ainsi, pour que ce membre se réduise à une constante, il faut que le coefficient de c^^ soit nul, ce qui donne
Lorsque \[â, >Ja\ ^' , . . . ont le même signe, ou, ce qui revient au même, lorsque les corps m, m', m",... circulent dans le même sens, cette équation est impossible, à moins que l'on ne suppose P ~ o, Q = o, P'= o, . . . ; d'où il suit que les quantités /^, /, A', /',... ne renferment point d'exponentielles, et qu'ainsi l'équation en g ne contient point de racines imaginaires.
Si cette équation avait des racines égales, les expressions de A, /, A', /',... renfermeraient, comme l'on sait, des arcs de cercle, et l'on aurait dans l'expression de h un nombre fini de termes de la forme P^'". Soient Q^, PT, QT, ... les termes correspondants de /, A', /', . . . , P, Q, P', Q',... étant des quantités réelles; le premier membre de l'équation (m)
