PREMIERE PARTIE. - LIVRE IL

dans l'ellipse variable, puisqu'elle est différentielle du premier ordre. En la différentiant, on aura d'^X, — dndt; or on a

partant

et, en intégrant,

, 3a/i ,u 3«ndR

an ■= a — =

2fi a p.

, 3andtdR

Ç= --ffandtdR.

Enfin, on a vu, dans le n° 18, que les intégrales (p) n'équivalent qu'à cinq intégrales distinctes, et qu'elles donnent entre les sept paramètres c, c\ c", /, /', /" et e les deux équations de condition

o-^fc"-f'c'-^f"c,

ces équations ont donc encore lieu dans le cas de l'ellipse variable, pourvu que les paramètres soient déterminés par ce qui précède. On peut d'ailleurs s'en assurer facilement a posteriori.

Nous venons de déterminer cinq éléments de l'orbite troublée, savoir, son inclinaison, la position de ses nœuds, son demi-grand axe qui donne son moyen mouvement, son excentricité, et la position du périhélie. Il nous reste à déterminer le sixième élément du mouvement elliptique, celui qui, dans l'ellipse non troublée, répond à la position de m à u«e époque donnée. Pour cela, reprenons l'expression de dt du n« 16,

dtsj^i dv[i — e^)^

V fi + e ces [v —.■uj]\^

Cette équation, développée en série, nous a donné, dans le numéro cité.

OE livres de L. — I.

En intégrant cette équation dans la supposition de e et de ct constants,

on aura

E(2) Jndt -j- £ = f H- EC^ sin(i^ — ro) H sinai^i' — cj) +. . .,

£ étant une arbitraire. Cette intégrale est relative à l'ellipse invariable; pour l'étendre à l'ellipse troublée, il faut qu'en y faisant tout varier jusqu'aux arbitraires s, e et cr qu'elle renferme, sa différentielle coïncide avec la précédente ; ce qui donne

ae=rae\ — r— siruc — rn) H 1 — sin?. (i^ — cr) -t-. . .

— </gï[E(')COS(v — CJI -+-E(-)cos2(c' — gt) +...].

ç' — cj est l'anomalie vraie de m comptée sur l'orbite, et cr est la longitude du périhélie comptée pareillement sur l'orbite. Nous avons déterminé précédemment la longitude I de la projection du périhélie sur le plan fixe; or on a, par le n*' 22, en changeant ç» en ct, et v, en 1 dans l'expression de v — ^ de ce numéro,

CT — o~I — 9-+-tang49sin2(I — 0) -4-

En supposant ensuite i> et v^ nuls dans cette même expression, on a

g = 0 H- tang2^9 sin 2 & H- . . . ;

partant

îjj--r- 1-+- tang2{cp[sin2 0 -+- sin 2(1 — !?)]-+-.. .,

ce qui donne

rfcy— fi?I[i-T-2lang2i<pcos2(I— 9)-f-...]4-2rfôtang2i<p[cos2 0— cos2(I— 0)-+-...]

-f-^?ii^[sin2e + sin2(l-9)-K..j.

cos-^9 *- \ / .1

Ainsi, les valeurs de d\, db et rfç étant déterminées par- ce qui précède, on aura celle de dvs, d'où Ton tirera la valeur de dz.

Il suit de là que les expressions en séries du rayon vecteur, de sa