PREMIERE PARTIE. - LIVRE II

projection sur le plan fixe, de la longitude rapportée soit sur le plan fixe, soit sur l'orbite, et de la latitude, que nous avons données dans le n° 22 pour le cas de l'ellipse invariable, ont également lieu dans le cas de l'ellipse troublée, pourvu que l'on y change nt en Jndt, et que l'on détermine les éléments de l'ellipse variable par les formules précédentes. Car, puisque les équations finies entre r, ç, s, x,y, z et Jndt sont les mêmes dans les deux cas, et que les expressions en séries du n° 22 résultent de ces équations par des opérations analytiques entièrement indépendantes de la constance ou de la variabilité des éléments, il est clair que ces expressions ont encore lieu dans le cas des éléments variables.

Lorsque les ellipses sont fort excentriques, telles que les orbites des comètes, il faut changer un peu l'analyse précédente. L'inclinaison ^ de l'orbite sur le plan fixe, la longitude 6 de son nœud ascendant, le demi-grand axe a, le demi-paramètre a{i— e^), l'excentricité eet la longitude I du périhélie sur le plan fixe pourront être déterminés par ce qui précède. Mais, les valeurs de cr et de dxs étant données en séries ordonnées par rapport aux puissances de tang^ç, il faut, pour les rendre convergentes, choisir le plan fixe de manière que tang^ç soit peu considérable, et ce qu'il y a de plus simple pour cet objet consiste à prendre pour plan fixe celui de l'orbite de m à une époque donnée.

La valeur précédente de dz est exprimée par une série qui n'est convergente que dans le cas où l'excentricité de l'orbite est peu considérable; on ne peut donc pas l'employer dans le cas présent. Pour y suppléer, reprenons l'équation

dt \J iJ. dvW—e'^Y

I " [n-ecos(t' — GTJP

Si l'on fait i— <? = », on a par l'analyse du n° 23, dans le cas de l'ellipse invariable.

tangi(p - cï) 1^1+ ^— -| tang4(i^ - GTj + . . . J ,

aY-sll>.

T étant une arbitraire. Pour étendre cette équation à l'ellipse variable, il faut la différentier, en ne faisant varier que T, le demi-paramètre a{i — e-), a et ny. On aura ainsi une équation différentielle qui déterminera T, et les équations finies qui ont lieu dans le cas de l'ellipse invariable subsisteront encore dans le cas de l'ellipse troublée.

65. Considérons particulièrement les variations des éléments de l'orbite de m, dans le cas des orbites peu excentriques et peu inclinées les unes aux autres. Nous avons donné, dans le n"* 48, la manière de développer alors R en série de sinus et de cosinus de la forme m k cos {i' n' t — int -h A), k et A étant des fonctions des excentricités et des inclinaisons des orbites, des positions de leurs nœuds et de leurs périhélies, des longitudes des corps à une époque donnée, et des grands axes. Lorsque les ellipses sont variables, toutes ces quantités doivent être supposées varier conformément à ce qui précède; il faut, de plus, changer dans le terme précédent l'angle i'n't — int en i'Jn'dt — ijndty ou, ce qui revient au même, en {%'-■ i^.

Maintenant on a, par le numéro précédent,

K —fndt = ^- J'fan dt dR.

La différence* dR étant prise uniquement par rapport aux coordonnées X, y, z du corps m, on ne doit faire varier, dans le terme m'A;cos(i'^'-- /^ -h A) de l'expression de R, développée en série, que ce qui dépend du mouvement de ce corps; d'ailleurs, R étant une fonction finie de x, y, z, x\ y', z', on peut, par le n"* 63, supposer les éléments de l'orbite conslants dans la différence dR; il sufïît donc de faire varier ^ dans le terme précédent, et, comme la différence de ^ est ndt, on aura im'.kndt.s'ini'^'- i^-\-A), pour le terme de dR qui correspond au terme précédent de R. Ainsi, en n'ayant égard qu'à