PREMIERE PARTIE. - LIVRE H
ce terme, on aura
-= J f(ndtsm[iç, — i^-h A),
Ç ^ ^J!^^ffakn^-dt^ sin(i'Ç'- /Ç + A).
Si l'on néglige les carrés et les produits des masses perturbatrices, on pourra, dans l'intégration de ces termes, supposer les éléments du mouvement elliptique constants, ce qui change '( en nt, et C en n't: d'où l'on tire
I yJm'nk
a ij.[i n — in)
3im'an-k
lj.[i n — in]
cos[i'n't — int + A), sinii'n't — int + A).
On voit par là que, si i' n — in n'est pas nul, les quantités a et C ne renferment que des inégalités périodiques, en n'ayant égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice ; or, i et i' étant des nombres entiers, l'équation i'ri — in = o ne peut pas avoir lieu, quand les moyens mouvements de m et de m' sont incommensurables, ce qui est le cas des planètes, et ce que l'on peut admettre généralement, puisque, n et n' étant des constantes arbitraires susceptibles de toutes les valeurs possibles, leur rapport exact de nombre à nombre est infiniment peu vraisemblable.
Nous sommes donc conduits à ce résultat remarquable, savoir, que les grands axes des orbites des planètes et leurs moyens mouvements ne sont assujettis qu'à des inégalités périodiques dépendantes de leur configuration entre elles, et qu'ainsi, en négligeant ces quantités, leurs grands axes sont constants et leurs moyens mouvements sont uniformes, résultat conforme à celui que nous avons trouvé par une autre méthode, dans le n" 5i.
Si les moyens mouvements nt et n't, sans être exactement commensurables, approchent beaucoup d'être dans le rapport de i' à i, le diviseur i'n— in est fort petit, et il peut en résulter dans ^ et l' des iné-
galités qui, croissant avec une grande lenteur, pourront donner lieu aux observateurs de penser que les moyens mouvements des deux corps m et m' ne sont pas uniformes. Nous verrons, dans la théorie de Jupiter et de Saturne, que cela est arrivé relativement à ces deux planètes : leurs moyens mouvements sont tels que deux fois celui de Jupiter est à fort peu près égal à cinq fois celui de Saturne, en sorte que ^n'— 2n n'est pas la soixante-quatorzième partie de n. La petitesse de ce diviseur rend très-sensible le terme de l'expression de K dépendant de l'angle Sn't — int, quoiqu'il soit de l'ordre V — i ou du troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites, comme on l'a vu dans le n° 48. L'analyse précédente donne la partie la plus sensible de ces inégalités; car la variation de la longitude moyenne dépend de deux intégrations, tandis que les variations des autres éléments du mouvement elliptique ne dépendent que d'une seule intégration; il n'y a conséquemment que les termes de l'expression de la longitude moyenne qui puissent avoir le carré [i'ri—inf pour diviseur; en n'ayant donc égard qu'à ces termes qui, vu la petitesse de ce diviseur, doivent être les plus considérables, il suflTira, dans les expressions du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, d'accroître de ces termes la longitude moyenne.
Quand on a les inégalités de ce genre, que l'action de m' produit dans le moyen mouvement de m, il est facile d'en conclure les inégalités correspondantes que l'action de m produit dans le moyen mouvement de m'. En effet, si l'on n'a égard qu'à l'action mutuelle des trois corps M, m et m', la formule (7) du n° 9 donne
consl. = — i -+- — ,-^ '
dl^ df^
[mdx -¥- m'dx')^ ■+- {mdr-h m'dr')^ -+■ [mdz + m'dz')^ [M-]- m-i- m'] dt-
iMm 7.Mm' imm'
La dernière des intégrales [p) du numéro précédent donne, en y sub-
stituant pour ^ l'intégrale 2/dR,
dx- -^ df^ -{- dz- 2 ( M + m ;
dt^
\Jx-^+X'
/dR.
Si l'on nomme ensuite R' ce que devient R lorsque l'on considère l'action de m sur m', on aura
m xx' -\- fy-
'+zz')
dx'
■ -+- dx'
^- + dz'^-
df^
sj[x'-xY--^ly-fY + [z'-zY
\lx''^ -+- y'- + z"-
la caractéristique différentielle d' ne se rapportant qu'aux coordonnées
x', y\ z du corps m . En substituant, au lieu de ~ y^ et
dx' ' I dv' ^ I dz'^ de \— 5 ces valeurs dans l'équation (a), on aura
dt-
w/dR H- m'/d' R' = const.
[mdx -\- m' dx'Y -{- [mdf + m' df'Y -\- nidz + m' dz' ]'-
i[M-{-m-hm')dt'^ m'2
sjx'^-^y'^-^z^ ^x'--\-f'-+z'- si{x' — x)--{-{x'—y]-+[z'—z'^
11 est visible que le second membre de cette équation ne renferme
point de termes de l'ordre des carrés et des produits des masses m
et m', qui aient pour diviseur i'n'—in-, en n'ayant donc égard qu'à
ces termes, on aura
m/dR + m'/d'R'=o;
ainsi, en ne considérant que les termes qui ont pour diviseur {i'n'— in)'\
3ffa'n'dtd'K' /n(M 4- /n)g'/i' 3ffandtdR m' [M -h m' ' an M -h m '
or on a
SffandtdK Sffa'n'dtd'R'
on aura donc
m' (M -i- m')an^'-h m (M -;- m)a'n"Ç -
On a ensuite
en négligeant donc m et m' vis-à-vis de M, on aura
w v/«. Ç + m! \ia! . 'C= o,
ou
?" — ^t y <^< V m \ja
Ainsi les inégalités de ^ qui ont pour diviseur [i'n'— in)- feiont connaître celles de "Cj qui ont le même diviseur. Ces inégalités sont, comme Ton voit, affectées de signes contraires, si n et n' sont de même signe, ou, ce qui revient au même, si les deux corps m et m' tournent dans le même sens; elles sont d'ailleurs dans un rapport constant; d'où il suit que, si elles paraissent accélérer le moyen mouvement de m, elles paraîtront retarder celui de m' suivant la même loi, et l'accélération apparente de m sera au retardement apparent de m' comme m' sfâ' est à m\/a. L'accélération du moyen mouvement de Jupiter et le ralentissement de celui de Saturne, que la comparaison des observations mo- <lernes aux anciennes avait fait connaître à Halley, étant à fort peu près dans ce rapport, je conclus du théorème précédent qu'ils sont dus à l'action mutuelle de ces deux planètes, et, puisqu'il est constant que cette action ne peut produire dans les moyens mouvements aucune altération indépendante de la configuration des planètes, je ne balançai point à croire qu'il existe dans la théorie de Jupiter et de Saturne une grande inégalité périodique, d'une fort longue période. En considérant ensuite que cinq fois le moyen mouvement de Saturne, moins deux fois celui de Jupiter, est à très-peu près égal à zéro, il me parut vraisemblable que le phénomène observé par Halley avait pour cause une iné-
