PREMIERE PARTIE. - LIVRE II

galité dépendante de cet argument. La détermination de cette inégalité vérifia cette conjecture.

La période de l'argument i'n't — int étant supposée fort longue, les éléments des orbites de m et de m! éprouvent dans cet intervalle des variations sensibles, auxquelles il est essentiel d'avoir égard dans la double intégrale f f akn^ dt^ sïn (i' n' t — int -\- A) . Pour cela, nous donnerons à la fonction k s'in [i' n' t — int -+- A) la forme Q aïn [i' n' t — int + i' s' — « s ) + Q' cos ( i n't — int H - i' e — it), Q et Q' étant fonctions des éléments des orbites ; nous aurons ainsi

Jiahi"^ dfi sin {i'n't — int -+- A)

n^a sin{i'n't — int-hi'i—iz) / leiQ' 3d^Q jd^Q' \

~~ Jj'n'—ïrî)^ V^ ~" [i'n'—in)dt ~~ [i'/i'— in^ dfi '^ [i'n'—inYdfi ^')

n^ a cos (i'n't — int -+- iW— i e) / a^Q ^d'^Q' 4^Q \

/>7^^2 V^ "^ (/'«'— in) dt [i'n'— in)^ dt^ [i'n'— in)^ dt^^")'

Les termes de ces deux séries décroissant très-rapidement, vu la lenteur des variations séculaires des éléments elliptiques, on peut dans chaque série s'en tenir aux deux premiers termes. En y substituant ensuite, au lieu des éléments des orbites, leurs valeurs ordonnées par rapport aux puissances du temps, et ne conservant que sa première puissance, la double intégrale précédente pourra être transformée dans un seul terme de la forme

(F + E^)sin(/'n7 — int-h k + YLt).

Relativement à Jupiter et à Saturne, cette expression pourra servir pendant plusieurs siècles avant et après l'instant que l'on aura choisi pour époque.

Les grandes inégalités dont nous venons de parler en produisent de sensibles parmi les termes dépendants de la seconde puissance des masses perturbatrices. En effet, si dans la formule

Ç= ?i^//aÂ-/i2rf/2sin(rÇ'-iÇ

OF.uvres de L. — \.

on substitue pour C et ^' leurs valeurs

Sim'an^.k . , -, , ■ . ^

nt T^r-; -. — - sin [int — lîit + A ,

3iman-.k sjo, . , •, ,. • . »n

n /H TT-, r— - -~ syna n t -- int-h a],

a[in — in]^ ^a'

il en résultera parmi les termes de l'ordre m"^ le suivant

qi^m'^a^n*k^ im' Jâ' -h i'mJ^ . , ., . . .,

— -^ — ^r--, 7-T = — ^!— sin ?. [i n t — mt H- A .

La valeur de C renferme le terme correspondant qui est au précédent dans le rapport de m \/ a h — m'\/a\

qi^m'^a^n^k^ f . , — ., -smsja . ., ,^ . ^ ..

,V . , ., , T-r- [im \!a -^ i mJa) , . ; sin?. / n t — int ■+■ A .

66. 11 peut arriver que les inégalités du moyen mouvement les plus sensibles ne se rencontrent que parmi les termes de l'ordre des carres des masses perturbatrices. Si l'on considère trois corps m, m\ m", circulant autour de M, l'expression de dR relative aux termes de cet ordre renfermera des inégalités de la forme kûïï[int—i'n't-^i"n"t~hX)\ or, si l'on suppose les moyens mouvements nt, n't, n"t tels que in — i'n'-{-î"n" soit une fraction extrêmement petite de /i, il en résultera une inégalité très-sensible dans la valeur de ^. Cette inégalité peut môme rendre rigoureusement nulle la quantité in — i'n\-i"n", et établir ainsi une équation de condition entre les moyens mouvements et les longitudes moyennes des trois corps m, m', m". Ce cas très-singulier ayant lieu dans le système des satellites de Jupiter, nous allons en développer l'analyse.

Si l'on prend M pour unité' de masse, et si l'on néglige m, m', m" vis-à-vis de M, on aura

On a ensuite

partant, dK