PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

rfÇ = ndt, d'C ^ n'dt, c?Ç"= n"dt;

dt

3 J da

— — on —X-'.

dK' dt

À da'

dK" ___

dt --2« ^

i da"

On a vu dans le n° 61 que, si l'on n'a égard qu'aux inégalités qui ont de très-longues périodes, on a

ce qui donne

const. = 1 r H JT'

da , da' ,,da"

On a vu dans le même numéro que, si l'on néglige les carrés des excentricités et des inclinaisons des orbites, on a

ce qui donne

const. =1 m \fâ -\- m' y/a' + m" \l a" ,

da , da' ,, da"

sja \jd \J a"

De ces diverses équations il est aisé de conclure

d^K .{da

dt ^ a-

dK' 3 rnn'^ n

-n" da

dt ^ m'n jï

dK" 3 rnn"^

n — n' da

Enfin l'équation ^ = 2/dR du n° 64 donne

Il ne s'agit donc plus que de déterminer dR.

On a par le n° 46, en négligeant les carrés et les produits des inclinaisons des orbites,

R = — ^^ cos(c' — v) — m' [r^ — ar/-' cos[f' — t') + r'2] -

-+- ~ cos(i/'- i') - m"[r^ - o.rr" cosiy- v) -h r"2] -.

Si l'on développe cette fonction dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de v'—v, de v"—v et de leurs multiples, on aura une expression de cette forme

H = — (r, ^)«» -4- m' (/•,/•)(») coslf'— »») + /»' (r, /•')(») C0ii[v' — v) -^ m'{r, /)(3) cos3(p' — r/)-^. -H — [r, r")(o) + w"(r, r")(») cos{i'''—i>)-i-m''{r, r")(«) C0S2[v''-t>)-hm"{r, /•")(») COS 3 (c"- ^) 4- .

d'où l'on tire

dR = rfr -^ h m' ^ \ ' — cosiv —v]-hm r-^ — cosilv —v)-h...

L 2 dr or ^ ôr ^ '

^ ' h m" ---V-^ — cos v"— v -+- m" -^-î^—

-H ^ -^-^ï— +m" -y\__ ' cos(v"- v]-hm" ~~^~ - cos2 (/'- v) +... 1

-H</v[m'{r, r')(*>sin(f' — vj-t-a/n'fr, r')(2)sin?.(y'— f)H-...

+ m";r, r'^jC) sin >"- f) + 2m"'r, r" (2) sin2 (t;// t;) ^,.,].

Supposons, conformément à ce que les observations indiquent dans le système des trois premiers satellites de Jupiter, que n — 2n' et n'—2n" soient des fractions très-petites de n, et que leur différence n — 2n') — n' — in!' ) ou /i — 3/i'-t- in!' soit incomparable-

ment plus petite que chacune d'elles. Il résulte des expressions de — et de %v du n° 50 que l'action de m' produit dans le rayon vecteur et <lans la longitude de m une inégalité très-sensible, dépendant de l'argument i' n!t — nt-\-î—i). Les termes relatifs à cette inégalité ont pour diviseur [\[n!— nf — n^ ou [n — in)\'6n — in), et ce diviseur est très-petit, à raison de la petitesse du facteur n — m' . On voit encore, par la considération des mêmes expressions, que l'action de m