PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

On a ensuite e — 3£'+ 2s" égal à deux angles droits; ainsi la longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est exactement et constamment égale à deux angles droits. En vertu de ce théorème, les valeurs précédentes de tr' et de V se réduisent aux suivantes :

èr'= (mG — tn"W] cos{n't ~ nt -{- e'— e),

àv'=[mn — m"T')sm[n't — nt-\-z'—z).

Les deux inégalités du mouvement de m', dues aux actions de m et de m,", se confondent par conséquent dans une seule, et seront constamment réunies. Il résulte encore du même théorème que ces trois premiers satellites ne peuvent jamais être éclipsés à la fois; ils^ie peuvent être ensemble vus de Jupiter, ni en opposition, ni en conjonction avec le Soleil; car les théorèmes précédents ont également lieu par rapport aux moyens mouvements synodiques et aux longitudes moyennes synodiques des trois satellites, comme il est facile de s'en assurer. Ces deux théorèmes subsistent malgré les altérations que les moyens mouvements des satellites reçoivent, soit par une cause semblable à celle qui altère le moyen mouvement de la Lune, soit par la résistance d'un milieu très-rare. Il est clair que ces diverses causes ne font qu'ajouter à la valeur de -j— une quantité de la forme -^ et qui ne peut devenir sensible que par les intégrations; en supposant donc 'N=T.'- cT, et cj très-petit, l'équation différentielle en V deviendra

dt- dt^

La période de l'angle nt\l^ étant d'un très-petit nombre d'années, tandis que les quantités renfermées dans -^ sont ou constantes, ou embrassent plusieurs siècles, on aura à très -peu près, en intégrant l'équation précédente,

C3=: >>sin(n^ V^ + y)

Bn'-dt-

OEuvres de L.— \. 4?

Ainsi la valeur de ct sera toujours très -petite, et les équations séculaires des moyens mouvements des trois premiers satellites seront toujours coordonnées par l'action mutuelle de ces astres, de manière que l'équation séculaire du premier, plus deux fois celle du troisième, soit égale « trois fois celle du second.

Les théorèmes précédents donnent entre les six constantes n, n\ n' , e, e', t" deux équations de condition, qui réduisent ces arbitraires à quatre; mais les deux arbitraires >. et y de la valeur de ny les remplacent. Cette valeur se distribue entre les trois satellites, de manière qu'en nommant />, p', p" les coefficients de sin(w/v/ê -f-y) dans les expressions de Vy v', v", ces coefficients sont dans le rapport des valeurs précédentes de ^i -t-J- et -^» et de plus on a /? — i/) -t- 2/? = X.

De là résulte, dans les moyens mouvements des trois premiers satellites de Jupiter, une inégalité qui ne diffère pour chacun d'eux que par son coefficient, et qui forme dans ces mouvements une espèce d«» libration dont l'étendue est arbitraire. Les observations ont fait voir qu'elle est insensible. ^

67. Considérons présentement les variations des excentricités et des périhélies des orbites. Pour cela, reprenons les expressions de df, df, df", trouvées dans le n° 64; en nommant r le rayon vecteur de m, projeté sur le plan des x et des y, v l'angle que cette projection fait avec l'axe des a?, et s la tangente de la latitude de m au-dessus du même plan, on aura

a:=rcosf, jK=rsint', z-=^rs, d'où il est facile de conclure

dR

dR

y dx ~

dz

aR

-'dlc-^

^ ' ds

dR dR

— r^casv -; — h s sint'-r— dr dv

dR

dR

.^ . àR (m-,«)sm.^^

. dR dR

— rs smv-3 *cosf-r-

dr dv