PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

On a de plus, par le n*" 64,

xdy—ydx = cdt, xdz — zdx = c'dt, ydz — zdy = c"dt;

les équations différentielles en/,/',/" deviendront ainsi

df^~dy

dz\ fn-52] cost^

dR dK

-3— — rs cos V -r h s sin

os or

aRl

, / . dR cost^ (3R ssmv dR\ c'dt dR

\ or r ov r as J r ds

,., , dR , r, ,. . dR . dR dRT

at ^^ dx --- — «2 I + 52 sint^ -r rs sin i' -r 5 cos v -v-

•^ di» L^ ^ ds dr dv }

j^i dK sin(^ dK .«cost^ dR

cdt{ cosv-^ — -r —

or r ov r os

c"dt dR r ds

«7 = dx\ (\ -h S-) cos f -T rs cos t' -^ + 5 sin t' ^r-

■^ L^ ' ds dr df J

+ ar 1+ 5- sin t- -r- — rs sin i' -r s cos c' -r—

, , , dR sint' dR «cosi^ dR\

c dt 1 cos i> —^ r r—

or r ov r os J

c dt sin V -3— \ or

cost' dR *sint' dR r dv r ds

Les quantités c\ c" dépendent, comme on l'a vu dans le n° 64, de l'inclinaison de l'orbite de m sur le plan fixe, en sorte que ces quantités se réduiraient à zéro, si cette inclinaison était nulle; d'ailleurs,

dR il est aisé de voir, par la nature de R, que -r- est de l'ordre des inclinaisons des orbites; en négligeant donc les carrés et les produits de ces inclinaisons, les expressions précédentes de dfei de df deviendront

df = -

, dR , / . dR cos(^ dR\ — dr-^ c«^ sint' -r — 1 -r- 5

"^ ov \ or r ov )

df'=

, dR , / dR sinv dR\

dx-^ \- cdtl cos V -T ,— :

dv \ dr r de/'

or on a

dx = d[rcosv), dy — d[rs'mv), cdt = xdy--ydx=zr^dv;

on aura donc

df ^^ — l ar sm f 4- 2 rav ces v — r- dv sin v -^— ?

•' ' ov ar

df'=^ Idrzosv — irdv sinv) -^^ h r^ dvcosv^—-

^ ' ' Ov or

Ces équations seront plus exactes, si l'on prend pour plan fixe des x et des y celui de l'orbite de m à une époque donnée; car alors c\ c" et s sont de l'ordre des forces perturbatrices; ainsi les quantités que l'on néglige sont de l'ordre des carrés des forces perturbatrices multipliés par le carré de l'inclinaison respective des deux orbites de m et de m'.

Les valeurs de r, dr, dv, -^-, -3- restent visiblement les mêmes,

or ov

quelle que soit la position du point d'où l'on compte les longitudes; mais, en diminuant v d'un angle droit, sini^ se change dans — cos*', et co?,v se change dans sint^; l'expression de d/sQ change, par conséquent, dans celle de df'\ d'où il suit qu'ayant développé la valeur de df dans une suite de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps, on aura la valeur de df' en diminuant dans la première les angles e, e', w, tr', 6 et 6' d'un angle droit.

Les quantités/ et/' déterminent la position du périhélie et l'excentricité de l'orbite; en effet, on a vu dans le n° 64 que

tangl=^,

I étant la longitude du périhélie, rapportée au plan fixe. Lorsque ce plan est celui de l'orbite primitive de m, on a, aux quantités près de l'ordre des carrés des forces perturbatrices multipliés par le carré de l'inclinaison respective des orbites, I = u, ct étant la longitude du périhélie sur l'orbite; on aura donc alors

ce qui donne

langer = ^î

sinBy= ^ •' > coscT — '--