PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE

On a ensuite, par le n° 64,

fze=z:v//^+/'2+/"S /

ainsi, c' et c" étant, dans la supposition précédente, de l'ordre des forces perturbatrices, f" est du même ordre, et, en négligeant les termes de l'ordre du carré de ces forces, on aura ^u.e == \[p^\^J^ . Si l'on substitue, au lieu de \[p +/'% sa valeur ]j.e dans les expressions de sincî et de coscy, on aura

/Liesinn7=/', (Jie cosxn=f;

ces deux équations détermineront l'excentricité et la position du périhélie, et l'on en tirera facilement

^^ede=fdf+f'df, i.^e'^dT^=fdf'~f'df.

En prenant pour le plan des x et des y celui de l'orbite de m, on a, par les n°^ 19 et 20, dans le cas des ellipses invariables,

ai — e-

I + e cosk — cj;

r'^dv.es\n[v — m)

r^-dv = a'^ndt.sj\ — e'^,

et, par le n° 63, ces équations subsistent encore dans le cas des ellipses variables; les expressions de dfG,i de df deviendront ainsi

andt r o . I \T ^R o 7^ / ô . ^R

df =:z =r=r2COS(^ + 4ecoscT+-^ecos 2t^ — 5T -T a^ndtJi — e^ smv-^—i

-' i/i e2^ ^ " ^ '^ dv ^ dr

df = =z=[2smf +fesmcj+^e sin^at^ — cj)]-^ — 'ra^ndt \/i — e^cosv -y-;

partant

edrsde

andt . / ^^ / \-i^^ , ^^^^^s/^—^^^^^i ^^^

sm(f — GT) [2 4- e cosft' — sT/J-p H ~ cos(i' — gj

andt

fx v/i — e''

, . „. ., dR a^ndt

[2 ces {i> — xn)-he-\-e cos^ [v — m] J -y-

i/l — C'^SmU' — GJ -r-

Cette expression de de peut être mise sous une forme plus commode dans quelques circonstances. Pour cela, nous observerons que

dr-^ = àiK — dv^\ en substituant pour r et dr leurs valeurs précédentes, on aura

r^dv.esmiv — xs-^- z=a[i — e-]dî^ — ail — e'^]di-^-\

Or ^ ' ^ ' dv

or on a

partant

a^ndtsji — e^ sm [v — xs]-t- = — dR [\ + e cos [v — cj)]^ -r- ;

or e e^i — e^ ^^

l'expression précédente de de donnera ainsi

^^^ ^ andtsjx-e^ dR a[x-e^) ^^ [j. dv {M '

On peut parvenir fort simplement à cette formule, de la manière suivante. On a, par le n"* 64,

de âK ^ . ^ .

37 dx ôy dv ^

mais on a, par le même numéro, c= ^^.a{\ — é^), ce qui donne

, da^ixa(î — e-) edey/fia

partant

- andtJi — e^ dR , „, da

ede =z ï -r aii — e^] — - :

[X. ov ^ ' 2a*^

on a ensuite, par le n° 64,

on aura ainsi pour ede la même expression que ci-dessus.