LIVRE IL
68. Nous avons vu dans le n" 65 que, si l'on néglige les carrés des forces perturbatrices, les variations du grand axe et du moyen mouvement ne renferment que des quantités périodiques dépendantes de la configuration des corps m, m', m", . . . entre eux. Il n'en est pas ainsi des variations des excentricités et des inclinaisons : leurs expressions différentielles contiennent des termes indépendants de cette configuration, et qui, s'ils étaient rigoureusement constants, produiraient, par l'intégration, des termes proportionnels au temps, qui rendraient à la longue les orbites fort excentriques et très -inclinées les unes aux autres; ainsi, les approximations précédentes, fondées sur le peu d'excentricité et d'inclinaison respective des orbites, deviendraient insuffisantes et même fautives. Mais les termes constants en apparence, qui entrent dans les expressions différentielles des excentricités et des inclinaisons, sont fonctions des éléments des orbites, en sorte qu'ils varient avec une extrême lenteur, à raison des changements qu'ils y introduisent. On conçoit qu'il doit en résulter, dans ces éléments, des inégalités considérables, indépendantes de la configuration mutuelle des corps du système, et dont les périodes dépendent des rapports des masses m, m', . . . à la masse M. Ces inégalités sont celles que nous avons nommées précédemment inégalités séculaires, et que nous avons considérées dans le Chapitre VII. Pour les déterminer par cette méthode, reprenons la valeur de df à\x numéro précédent.
df.^
andt
dR
dR
[2COSv+|ecoscT4-|ecos(2(^— GT)]-t a-ndtsji — e^ sinvy--
Nous négligerons dans le développement de cette équation les carrés et les produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, et parmi les termes dépendants des excentricités et des inclinaisons, nous ne conserverons que ceux qui sont constants; nous supposerons ensuite, comme dans le n° 48,
Cela posé, si l'on substitue pour R sa valeur trouvée dans le n*' 48; si l'on considère ensuite que l'on a, par le même numéro,
dR a dR dK
dr~r da~^' ^'' 'd^'
enfin, si l'on substitue, au lieu de m,, u , v, et v\ , leurs valeurs
— e cos(n^ H-e— cï), — e'cos(n'< -+- e'— rn') , 2e sin( n/ -4- e — gt), 2e'sin(n'/-4- e'— cj'),
données par le n** 22, en ne conservant que les termes constants parmi ceux qui dépendent de la première puissance des excentricités des orbites, et en négligeant les carrés des excentricités et des inclinaisons, on trouvera
jj, am'ndt . ( dA(«) , , df:= esincj (a — r \-{a^
da ^ da^
H-a/n n a/. esmcT Ai'^H-^a— r \-^a —r—, — \-\aa -r — r—r
\ * da ^ da dada )
— am'ndt. J, (/A('>-|- ^a-^ — j sin[i («7 — nt -\- 1' — e) + n/ H- e].
le signe intégral 2 s'étendant dans cette expression, comme dans la valeur de R du n° 48, à toutes les valeurs entières positives et négatives de I, en y comprenant même la valeur i = o.
On aura, par le numéro précédent, la valeur de df, en diminuant dans celle de <^les angles e, e', cr et xs' d'un angle droit; d'où l'on tire
,., am'ndt { dkW . ,d^\W
'' 2 \ da da^
— am'/ifl/.e coscj' A("-+-4a— rj H 4a -1-7 — \-i:aa' -. — r-r
\ ^ da ^ da dada
I dA(''>\
-+- am'ndt. 1 liA^'' -hT^a—^ — | cos[i{n't — n/ + e'— e) 4- n/-f- e].
Nommons, pour abréger, X la partie de l'expression de df renfermée sous le signe 2, et Y la partie de l'expression de df renfermée sous
