PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I
Il résulte encore du n° 3 que, si l'on projette chaque force et leur résultante sur un plan fixe, la somme des moments des forces composantes ainsi projetées, par rapport à un point fixe pris sur le plan, est égale au moment de la projection de la résultante : or, si de ce point on mène au mobile un rayon que nous nommerons rayon vecteur, ce rayon, projeté sur le plan fixe, y tracerait, en vertu de chaque force agissant séparément, une aire égale au produit de la projection de la ligne qu'elle ferait décrire par la moitié de la perpendiculaire abaissée du point fixe sur cette projection : cette aire est donc proportionnelle au temps. Elle est encore, dans un temps donné, proportionnelle au moment de la projection de la force; ainsi la somme des aires que tracerait la projection du rayon vecteur en vertu de chaque force composante, si elle agissait seule, est égale à l'aire que la résultante fait décrire à cette projection. Il suit de là que, si un mobile, projeté d'abord en ligne droite, est ensuite sollicité par des forces quelconques dirigées vers le point fixe, son rayon vecteur décrira toujours autour de ce point des aires proportionnelles aux temps, puisque les aires, que feraient décrire à ce rayon les nouvelles composantes, seraient nulles. Réciproquement, on voit que, si le mobile décrit autour du point fixe des aires proportionnelles aux temps, la résultante des nouvelles forces qui le sollicitent est constamment dirigée vers ce point.
7. Considérons maintenant le mouvement d'un point sollicité par des forces qui semblent agir d'une manière continue, telles que la pesanteur. Les causes de cette force et des forces semblables qui ont lieu dans la nature étant inconnues, il est impossible de savoir si elles agissent sans interruption, ou si leurs actions successives sont séparées par des intervalles de temps dont la durée est insensible ; mais il est facile de s'assurer que les phénomènes doivent être à très-peu près les mêmes dans ces deux hypothèses; car, si l'on représente la vitesse d'un corps sollicité par une force sans cesse agissante, par l'ordonnée d'une courbe dont l'abscisse représente le temps, cette courbe, dans la seconde hypothèse, se changera dans un polygone d'un très-grand nombre de
côtés, et qui, par cette raison, pourra se confondre avec la courbe. Nous adopterons la première hypothèse avec les Géomètres, et nous supposerons que l'intervalle de temps, qui sépare deux actions consécutives d'une force quelconque, est égal à l'élément dt du temps que nous désignerons par t. Il est clair qu'il faut alors supposer l'action de la force d'autant plus considérable, que l'intervalle qui sépare ses actions successives est supposé plus grand, afin qu'après le même temps t la vitesse soit la même; l'action instantanée d'une force doit donc être supposée en raison de son intensité et de l'élément du temps pendant lequel elle est supposée agir. Ainsi, en représentant par P cette intensité, on doit supposer, au commencement de chaque instant dt, le mobile sollicité par une force Vdt, et mû uniformément pendant cet instant. Cela posé : On peut réduire toutes les forces qui sollicitent un point M à trois forces P, Q, R, agissant parallèlement à trois coordonnées rectangles ^' J' ^» qui déterminent la position de ce point; nous supposerons ces forces agir en sens contraire de l'origine de ces coordonnées, ou tendre à les accroître. Au commencement d'un nouvel instant dt, le mobile reçoit, dans le sens de chacune de ces coordonnées, les accroissements de force ou de vitesse Vdt, Qdt, ^dt. Les vitesses du point M, parallèles à ces coordonnées, sont -^^ -n-' jt; car, dans un instant infmi-
dt dt dt
ment petit, elles peuvent être censées uniformes, et par conséquent égales aux espaces élémentaires divisés par l'élément du temps. Les vitesses dont le mobile est animé au commencement d'un nouvel instant sont par conséquent
OU
dx ,dx ,dx ,
-T- -hc? j d-j- -hVdt,
dt dt dt
