LIVRE I

Mais, dans ce nouvel instant, les vitesses dont le mobile est animé parallèlement aux coordonnées x, y, z sont évidemment

les forces

dx dt

,dx dr

^dt,

d^ dt

Qdt,

jdz

idz „ , d-j- + ^dt dt

doivent donc être détruites, en sorte que le mobile M, en vertu de ces forces seules, serait en équilibre. Ainsi, en désignant par %x, %y, ^z les variations quelconques des trois coordonnées x, y, z, variations qu'il ne faut pas confondre avec les différences dx, dy, dz qui expriment les espaces que le mobile décrit parallèlement aux coordonnées durant l'instant dt, l'équation [b] du n° 3 deviendra

Vdt\-^^y\d

dy TÎt

Qdt

§z{d^-Kdt

Si le point M est libre, on égalera séparément à zéro les coefficients de ^x, ^y et ^z, et l'on aura, en supposant constant l'élément dt du temps, les trois équations différentielles

d^x 'di^

dt^

d^z dF

Si le point M n'est pas libre, en sorte qu'il soit assujetti à se mouvoir sur une surface ou sur une ligne courbe, on éliminera de l'équation (/), au moyen des équations à la surface ou à la courbe, autant de variations '^x, '^y, ^z qu'il y aura d'équations, et l'on égalera séparément à zéro les coefficients des variations restantes.

8. On peut supposer dans l'équation (/) les variations ^x, Sj, ^z égales aux différentielles dx, dy, dz, puisque ces différentielles sont nécessairement assujetties aux conditions du mouvement du mobile M. En faisant cette supposition, et en intégrant ensuite l'équation (/), on

aura

dx^ + Jj^ + dz^

dt^

— = c + 9.f{Vdx -i Qdy \Rdz),

c étant une constante arbitraire. -^— ^--^-t jL est le carré de la vi-

dt-

tesse de M, vitesse que nous désignerons par v\ en supposant donc que Vdx -^(^dy -^^dz soit la différence exacte d'une fonction <p, on aura

Ce cas a lieu lorsque les forces qui sollicitent le point M sont fonctions des distances de leurs origines à ce point, ce qui comprend à peu près toutes les forces de la nature. En effet, S, S', . . . représentant ces forces, et s, s',... étant les distances du point M à leurs origines, la résultante de toutes ces forces, multipliée par la variation de sa direction, sera, par le n° 2, égale à iSS*; elle est encore égale à P Sa7 -h Q ^y -;- R (^5 ; on a donc

P ôx -4- Q ôj + R ôz = 2 S Ô5 ;

ainsi, le second membre de cette équation étant une différence exacte, le premier membre l'est pareillement.

Il résulte de l'équation (g) : 1° que, si le point M n'est sollicité par aucune force, sa vitesse est constante, puisque alors <p = o; c'est ce dont il est facile de s'assurer d'ailleurs, en observant qu'un corps mû dans une surface ou sur une ligne courbe ne perd, à la rencontre de chaque plan infiniment petit de la surface ou de chaque côté infiniment petit de la courbe, qu'une partie infiniment petite du second ordre de sa vitesse; 2° que le point M, en partant d'un point donné avec une vitesse donnée pour arriver à un autre point, aura, en parvenant à ce dernier point, la même vitesse, quelle que soit la courbe qu'il aura décrite.

Mais, si le mobile n'est point assujetti à se mouvoir sur une courbe déterminée, la courbe qu'il décrit jouit d'une propriété singulière, à laquelle on a été conduit par des considérations métaphysiques, et qui n'est au fond qu'un résultat remarquable des équations difl'érentielles précédentes. Elle consiste en ce que l'intégrale fvds, comprise entre les deux points extrêmes de la courbe décrite, y est moindre que sur toute autre courbe, si le corps est libre, ou sur toute autre courbe assu-