ia

da^

aA^*) — «2 — ;^ — .

2 \ oa

Observons ensuite que le coefBcient de e'c^^sinc?', dans l'expression de df, se réduit à

, lorsque l'on y substitue, au lieu des différences partielles de A^'^ en a', leurs valeurs en différences partielles relatives à a; enfin, supposons, comme dans le n° 50,

e sinvs = h, e's'mm'-~h',

ce qui donne, par le numéro précédent, /= |jJ,/'= p- A, ou simplement/= /, /'= h, en prenant pour unité de masse M, et négligeant m eu égard à M; nous aurons

dh dt

dl

o, i) l~ I o, 1 1 /' + am'nY, -^= — (o, i)A +

h'— am'nX.

De là il est aisé de conclure que, si l'on nomme (Y) la somme des termes analogues à am'nY, dus à l'action de chacun des corps m', m",... sur m; si l'on nomme pareillement (X) la somme des termes analogues à —am'nX, dus aux mêmes actions; enfin, si l'on marque successivement d'un trait, de deux traits, etc., ce que deviennent les quantités (X), (Y), A et /, relativement aux corps m', m", . . . , on aura le système suivant d'é-quations différentielles,

dh

dl dt

dt

^ = - [{I, o) + (I, 2) + . . .]A'+ [TTçOA + im] h"-

OEuvres de L. — i.

Pour intégrer ces équations, nous observerons que chacune des quantités h, /, A', /',... est formée de deux parties : l'une dépendante de la configuration mutuelle des corps m, m', . . . , l'autre indépendante de cette configuration, et qui renferme les variations séculaires de ces quantités. On aura la première partie en considérant que, si l'on n'a égard qu'à elle seule, A, /, A', /',... sont de l'ordre des masses perturbatrices, et par conséquent (o, i)A, (o, i)/, ... sont de l'ordre des carrés de ces masses; en négligeant donc les quantités de cet ordre, on aura

partant

A=/(Y)rf/, l=:f{\)dt, h'=f{Y')dt, ....

Si l'on prend ces intégrales, en n'ayant point égard à la variabilité des éléments des orbites, et que l'on nomme Q ce que devient alors f{Y)dt; en nommant SQ la variation de Q due à celle des éléments, on aura

f{Y)dt = Q~fdQ;

or, Q étant de l'ordre des masses perturbatrices, et les variations des éléments des orbites étant du même ordre, ?5Q est de l'ordre des carrés de ces masses; ainsi, en négligeant les quantités de cet ordre, on aura

On peut donc prendre les intégrales /(Y) dt, /(X) dt, f{Y')dt, ..., en supposant les éléments des orbites constants, et regarder ensuite ces éléments comme variables dans les intégrales; on aura ainsi d'une manière fort simple les parties périodiques des expressions de h, /, h'

Pour avoir les parties de ces expressions qui renferment les inégalités séculaires, on observera qu'elles sont données par l'intégration des équations différentielles précédentes privées de leurs derniers termes (Y), (X), ... ; car il est clair que la substitution des parties périodiques