PREMIERE PARTIE. - LIVRE II

de h, /, h , ... en fera disparaître ces termes. Mais, en privant ces équations de leurs derniers termes, elles retombent dans les équations différentielles (A) du n" 55, que nous avons considérées précédemment avec beaucoup d'étendue.

69. Nous avons observé dans le n*' 65 que, si les moyens mouvements nt et n! t des deux corps m et m! sont à fort peu près dans le rapport de i' à i, en sorte que i'ri — in soit une très-petite quantité, il peut en résulter dans les moyens mouvements de ces corps des inégalités fort sensibles. Ce rapport des moyens mouvements peut aussi produire des variations sensibles dans les excentricités des orbites et dans la position de leurs périhélies. Pour les déterminer, nous reprendrons l'équation trouvée dans le n*' 67,

, andtJi — e- dR a[\ — e^] , ede = — ; dR.

Il résulte de ce que nous avons dit dans le n° 48 que, si l'on prend pour plan fixe celui de l'orbite de m à une époque donnée, ce qui permet de négliger dans R l'inclinaison o de l'orbite de m sur ce plan, tous les termes de l'expression de R dépendants de l'angle i'n't — int seront compris dans la forme suivante

m'k cos{i'n't — int -+- i'e' — ie — gr^j — g'^' — g" ^')^

i, i', g, g', g" étant des nombres entiers tels que l'on a

Le coefficient k a pour facteur e^e'^ (tang^çp'f , g, g\ ^" étant pris positivement dans ces exposants; de plus, si l'on suppose i et i' positifs, et i' plus grand que i, on a vu dans le n° 48 que les termes de R qui dépendent de l'angle i'n't — int sont de l'ordre i'—i, ou d'un ordre supérieur de deux, de quatre, etc. unités; en n'ayant donc égard qu'aux termes de l'ordre i'— i, k sera de la forme e^e'^{tang|çp')"''Q, Q étant une fonction indépendante des excentricités et de l'inclinaison

respective des orbites. Les nombres^, g\ g", renfermés sous le signe cosinus, sont alors positifs; car, si l'un d'eux, g par exemple, était négatif et égal à — /, k serait de l'ordre/-!-^' -h g"; mais l'équation

donne

ainsi k serait d'un ordre supérieur à i'— i, ce qui est contre la supposition. Cela posé, on a, par le n** 48, .— = -r-? pourvu que dans cette

dernière différence partielle on fasse e — cr constant; le terme de -y-' correspondant au terme précédent de R, est donc

m'{i -i- g] ksin{i'n't — int 4- l'e'— h ~ gm — g'xjs' — g"0').

Le terme correspondant de dR est

m'inkdtsin{i'n'i — int -+- i'e — ie — grs — g'm' — g"ô');

en n'ayant donc égard qu'à ces termes, et en négligeant e^ vis-à-vis de l'unité, l'expression précédente de ede donnera

de= ^- sin{i'n t~int-\- l'e —le - gm — grs — g'O );

or on a

on aura donc, en intégrant,

m' an ôk ,;,, ■ -, , - , , „^,^

ix{in-~in) de ^ o o & /

Maintenant, la somme de tous les termes de R qui dépendent de l'angle i'n't — int étant représentée par la quantité suivante,

m'Psin(i'n'/ — int -\- ii ■ ii] -\- m'I?' cos [i'n't — int + e'e'— je),