Reprenons les équations du n
tang9 = ^ » tangy = — »
d'où résultent celles-ci
— =tang(pcos0, — = tang<jpsin0.
En les différentiant, on aura -^'yfi' A'n ,v >
(/tang(p= - (</c'cos9-hrfc*sin9 — c?c lang^),
dQ lang9 = - (Jc^cosô — de' sinôy.
de de' de" dt dt dt
de de' de" Si l'on substitue dans ces équations, au lieu de -t-» -rr-> -?-■> leurs
valeurs
^R ()R aR dR dR dK
*^ d^ oy ax az oy az
et au lieu de ces dernières quantités leurs valeurs données dans le n° 67; si l'on observe, de plus, que s = tangç sin(ç' ~ 6), on aura
rftang(p = ^T \ L\ r—-s\x\[v—Q)-{-~cos[v—Q] — ^ '■ — c,os[v—0)-^-,
,,^ </nang(psin((;— 0)r dR . , .. dR . ,.1 [i-^s^]dt . . , rfôtangfp = 2jr V y ;. sin(t^— ô)+ -^cos(i'— Ô) — ^ -^— sin(^'— &
,dR
ds
Ces deux équations différentielles détermineront directement l'inclinaison de l'orbite et le mouvement des nœuds. Elles donnent
sin(t' — 0) c?lang(p — J5cos(t' — 0)lang(p := o, ^
équation qui peut se déduire encore de celle-ci, ^ = tang(psin{(' — 6); en effet, cette dernière équation étant finie, on peut, par le n° 63, la différentier, soit en regardant 9 et 6 comme constants, soit en les traitant comme variables, en sorte que sa différentielle prise en ne faisant varier que <p et 8 est nulle, d'où résulte l'équation différentielle précédente.
Supposons maintenant que le plan fixe soit extrêmement peu incliné à l'orbite de m^ en sorte que nous puissions négliger les carrés de s et de tangcp; on aura
</tang(p=- cos((^-5)— ,
jfl , dt . i , , <^R
rf0tang<p = -— sin(t;-0)— ;
en faisant donc, comme précédemment,
/? = tangcp sinô, ^ — tang 90056,
on aura, au lieu des deux équations différentielles précédentes, les suivantes
, dt d^
dq— ces V -3- 5
^ c os
, dt . dVi
dp — sin V -r~ :
or on a 5 = y sin ç^ —p cosç>, ce qui donne
dR i^ dR L ^.
ds sin V dq ds ces v dp"*
partant
,^dR d — — — — ^ c dp^ ^ c dq
On a vu dans le n** 48 que la fonction R est indépendante de la position du plan fixe des x et des j'; en supposant donc tous les angles de cette fonction rapportés à l'orbite de m, il est visible que R sera fonction de ces angles et de l'inclinaison respective des deux orbites, inclinaison que nous désignerons par çp) . Soit 6) la longitude du nœud de l'orbite de w' sur l'orbite de m, et supposons que /n'X:(tangcp])^cos(fV/ — mf -h A — g^^) soit un terme de R, dépendant de l'angle i'r^t — int\ on aura, par le n° 60,
langç; sine; =/>'—;>, lang9; cos0; — q'—q,
d'où l'on tire
(lang(p;)^cosê-0;= ^ — ^ — -^ — ^^-^ ^ ^^ ^ ^^ — ^^^^ ^ •
En n'ayant donc égard qu'au terme précédent de R, on aura
— = — g-ltangç^j^^-'m'A- sin[rn7 — m/ + A — (g- — 1)0;], ^ = - g-ltang^; )^-' m'/f cos[i'n7 — m/ 4- A - (g- — 1)0; ].
