PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I
jettie à la même surface sur laquelle il doit se mouvoir, s'il n'est pas entièrement libre.
Pour le faire voir, nous observerons que, Vdœ -^Qdy -i-Rdz étant supposé une différentielle exacte, l'équation {g) donne
vdv :^Pdx -\- Qèy-T-Kàz;
l'équation (/) du numéro précédent devient ainsi
o=.ox.d-^ — \- àr.d -^ -^~ èz.d-j vdt.èv.
dt -^ dt dt
Nommons ds l'élément de la courbe décrite par le mobile; nous aurons
partant
vdt=^ ds, ds = sjdx'^ -\- dy- -v- dz'^ ,
o -~- §x.d-j — I- ôy.d-j — f- §z.d -j- — ds.dv;
dt -^ ' dt dt
en différentiant par rapport à S l'expression de ds, on a
^èds=.'l;'§dx^^ôdr-^'^^dz.
dt dt dt -^ dt
Les caractéristiques d et ^ étant indépendantes, on peut les placer à volonté l'une avant l'autre; l'équation précédente peut ainsi prendre cette forme
. , didxèx -T- dr èy -- dz èz) ^ jdx ^ ,dr > , dz
vods^- -j — ■' — ôx.d , or .d -; dz.d -,- :
dt dt -^ dt dt ^
en retranchant du premier membre de cette équation le second membre de l'équation (A), on aura
. , , , d { dx èx -h dy or -T- dz dz)
d \ V ds ; --= — ^5 : •
' dt
Cette dernière équation, intégrée par rapport à la caractéristique d,
donne
dx dx -h dr ô.r -'- dz ^2
àjvds=^ const.
dt
OEuvres de L. — I.
Si l'on étend l'intégrale à la courbe entière décrite par le mobile, et si l'on suppose les points extrêmes de cette courbe invariables, on aura ^fvds = o; c'est-à-dire que, de toutes les courbes suivant lesquelles le mobile assujetti aux forces P, Q, R peut parvenir d'un point donné à un autre point donné, il décrira celle dans laquelle la variation de l'intégrale fvds est nulle, et dans laquelle, par conséquent, cette intégrale est un minimum.
Si le point se meut dans une surface courbe, sans être sollicité par aucune force, sa vitesse est alors constante, et l'intégrale fi^ds devient vfds; ainsi la courbe décrite par le mobile est, dans ce cas, la plus courte que l'on puisse tracer sur la surface, du point de départ au point d'arrivée.
9. Déterminons la pression qu'un point, mù dans une surface, exerce contre elle. Au lieu d'éliminer de l'équation (/) du n° 7 une des variations 8a7, (J)', ^z, au moyen de l'équation à la surface, on peut, par le n° 3, ajouter à cette équation l'équation différentielle de la surface, multipliée par une indéterminée —\dt, et considérer ensuite les trois variations ^x, ty, tz comme indépendantes. Soit donc m — o l'équation de la surface; on ajoutera à l'équation (/) le terme —\^udt, et la pression que le point exerce contre la surface sera, par le n*^ 3, égale à
//dM\* (àuyi (duv^
Supposons d'abord que le point ne soit sollicité par aucune force, sa vitesse ç'sera constante; si l'on observe ensuite que çdt = ds, l'élément dt du temps étant supposé constant, l'élément ds de lia courbe décrite le sera pareillement, et l'équation (/), augmentée du terme — "k^udt, donnera les trois suivantes
^d-x .du __ ^d-r ds- dx ds-
.du » d'^z .. du dy ds^ dz
d'où Ton tire
wm'-^i^y-^m'-
v^ s/{d'*xy^ -h {d-^xY^ -h {d-^zY^ ds^
