PREMIERE PARTIE. - LIVRE I

Mais, ds étant constant, le rayon osculateur de la courbe décrite par le mobile est égal à

ds^

en nommant donc r ce rayon, on aura

c'est-à-dire que la pression exercée par le point contre la surface est égale au carré de sa vitesse , divisé par le rayon osculateur de la courbe qu'il décrit.

Si le point se meut dans une surface sphérique, il décrira la circonférence du grand cercle de la sphère qui passe par la direction primitive de son mouvement, puisqu'il n'y a pas de raison pour qu'il s'écarte plutôt à droite qu'à gauche du plan de ce cercle : sa pression contre la surface, ou, ce qui revient au même, contre la circonférence qu'il décrit, est donc égale au carré de sa vitesse, divisé par le rayon de cette circonférence.

Concevons le point attaché à l'extrémité d'un fil supposé sans masse, et dont l'autre extrémité soit fixe au centre de la surface ; il est visible que la pression exercée par ce point contre la circonférence est égale à la tension qu'éprouverait le fil, si le point n'était retenu que par lui. L'effort, que ce point ferait pour tendre le fil et pour s'éloigner du centre de la circonférence, est ce que l'on nomme force centrifuge; ainsi la force centrifuge est égale au carré de la vitesse, divisé par le rayon.

Dans le mouvement d'un point sur une courbe quelconque, la force centrifuge est égale au carré de la vitesse, divisé par le rayon osculateur de la courbe, puisque l'arc infiniment petit de cette courbe se confond avec la circonférence du cercle osculateur; on aura donc la pression que le point exerce contre la courbe qu'il décrit, en ajoutant au carré de sa vitesse, divisé par le rayon osculateur, la pression due aux forces qui sollicitent ce point.

Dans le mouvement d'un point sur une surface, la pression due à la

force centrifuge est égale au carré de la vitesse, divisé par le rayon osculateur de la courbe décrite par ce point, et multiplié par le sinus de l'inclinaison du plan du cercle osculateur sur le plan tangent à la surface; en ajoutant à cette pression celle qui est due à l'action des forces qui sollicitent le point, on aura la pression totale qu'il exerce contre la surface. Nous venons de voir que, si le point n'est animé d'aucune force, sa pression contre la surface est égale au carré de sa vitesse, divisé par le rayon osculateur de la courbe décrite; le plan du cercle osculateur, c'est-à-dire le plan qui passe par deux côtés consécutifs de la courbe décrite par le point, est donc alors perpendiculaire à la surface. Cette courbe, relativement à la surface de la Terre, est celle que l'on a nommée perpendiculaire à la méridienne, et nous avons prouvé (8) qu'elle est la plus courte que l'on puisse mener d'un point à un autre sur la surface.

10. De toutes les forces que nous observons sur la Terre, la plus remarquable est la pesanteur; elle pénètre les parties les plus intimes des corps, et sans la résistance de l'air elle les ferait tomber avec une égale vitesse. La pesanteur est à fort peu près la même sur les plus grandes hauteurs où nous puissions nous élever, et dans les plus grandes profondeurs où nous puissions descendre; sa direction est perpendiculaire à l'horizon, mais dans les mouvements des projectiles on peut supposer, sans erreur sensible, qu'elle est constante et qu'elle agit suivant des droites parallèles, vu le peu d'étendue des courbes qu'ils décrivent, relativement à la circonférence de la Terre. Ces corps étant mus dans un fluide résistant, nous nommerons € la résistance qu'ils en éprouvent, et qui est dirigée suivant le côté de la courbe qu'ils décrivent, côté que nous désignerons par ds; nous nommerons, de plus, g la pesanteur. Cela posé :

Reprenons l'équation (/) du n° 7, et supposons que le plan des œ et des y soit horizontal, et que l'origine des z soit au point le plus élevé; la force ê produira, suivant les coordonnées x,y, z, les trois forces

„ dx dy ladz

ds ds ds ^

on aura donc, par le n° 7,

et l'équation (/) devient

Si le corps est entièrement libre, on aura les trois équations

j da: ^dx j , dr ^dy , , dz ^ dz j ,

dt ds

Les deux premières donnent

dy j dx dx , dy

dt dt dt dt

d'où l'on tire, en intégrant,

dx -^ fdy.

/étant une constante arbitraire. Cette équation est celle d'une droite horizontale; ainsi le corps se meut dans un plan vertical. En prenant ce plan pour celui des x et des z, on aura j = o; les deux équations

, dx ^ dx , J dz cdz , ,

oz=. a —, — x-^-r- dt, o 1= a -^ — ;- o -r~ dt — ^dt dt ds dt ds °

donneront, en faisant dx constant,

dsdH dt-^

d^z dzd^t „dz dt dt'^ ^ lis

■> o =: --r. T.-; '^^zn: ^^ — ^^^f

d'où l'on tire gdt^ — d^z, et, en différentiant,

'igdtd^t=d^z;

en substituant pour d^t sa valeur -;/j-' et pour dt^ sa valeur — ~, on

aura

ds ê dsd^z

2(rf22)a

Cette équation donne la loi de la résistance ê, nécessaire pour faire décrire au projectile une courbe déterminée.

Si la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, ê est égal

à A^, A étant constant dans le cas où la densité du milieu est uniforme. On a alors

ê hds^ hds^

g gdt'^ d'^z '

partant kds = —77-; ce qui donne, en intégrant,

2ac

2/tS

a étant une constante arbitraire, et c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Si l'on suppose nulle la résistance du milieu, ou A = o, on aura, en intégrant, l'équation à la parabole

z = ax^ H- bx + e,

6, e étant des constantes arbitraires.

L'équation différentielle d^z = gdt^ donnera dt"^ = — dœ^, d'où l'on

tire t = X y — -^/'- Supposons que x, z et t commencent ensemble; qn aura e — o, /'— o, et par conséquent

î z = ax^ -+- bx,

ce qui donne

z=z^^-^bt

Ces trois équations renferment toute la théorie des projectiles dans le vide; il en résulte que la vitesse est uniforme dans le sens horizontal, et que dans le sens vertical elle est la même que si le corps tombait suivant la verticale.