PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE I

Si le mobile part de l'état du repos, b sera nul, et l'on aura

dz dt

gt, z.^^gt^;

la vitesse acquise croît donc comme le temps, et l'espace croît comme le carré du temps.

Il est facile, au moyen de ces formules, de comparer la force centrifuge à la pesanteur. On a vu précédemment que, ç étant la vitesse d'un corps mû dans une circonférence dont le rayon est r, la force centrifuge

est — • Soit h la hauteur dont il devrait tomber pour acquérir la vitesse v; on aura, par ce qui précède, v^ = 2gh; d'où l'on tire

Si h -- r,r, la force centrifuge devient égale à la pesanteur^; ainsi un corps pesant attaché à l'extrémité d'un fil fixe par son autre extrémité, sur un plan horizontal, tendra ce fil avec la même force que s'il était suspendu verticalement, pourvu qu'il se meuve sur ce plan avec la vitesse qu'il acquerrait en tombant d'une hauteur égale à la moitié de la longueur du fil.

1 1 . Considérons le mouvement d'un corps pesant dans une surface sphérique. En nommant r son rayon, et fixant à son centre l'origine des coordonnées oc, y, z, on aura r' — x"' —y^ — ^3^ = o ; cette équation, comparée à celle-ci w = o, donne u —r' — x^ —y^ — z"^-, en ajoutant donc à l'équation (/) du n"" 7 la fonction Sw, multipliée par l'indéterminée — \dt, on aura

o--^ hx\d~ -v-ilxdn -A-^yid-^-vo.lydn -t-ôz id— -^-ilzdt — gdt

équation dans laquelle on pourra égaler séparément à zéro les coefficients de chacune des variations lœ, ^j, ^z, ce qui donne les trois équa-

lions suivantes

I O :^ d -j — - it.x dt,

! A t o-^d -^ — h ■i'krdt,

\ dt -^

\ o -= d ~j — f l'kz dt — gdt.

\ ut

L'indéterminée X fait connaître la pression que le mobile exerce contre la surface. Cette pression est, par le n" 9, égale à

elle est par conséquent égale à 2>.r; or on a, par le n^ 8,

dx'^ H- dr^ -'- dz^' C + 9.^Z= ^p ,

c étant une constante arbitraire : en ajoutant cette équation aux équations (A) divisées par dt, et multipliées respectivement par x, y, z\ en observant ensuite que, l'équation différentielle de la surface étant o =r^ xdx -^rydy -{- zdz, on a

o = xd^x -i-yd'^y -r z d'^z ~- dx- h- dy"^ -h dz^,

on trouvera

. c -^ 3fi-z

aXr=r 5 —

Si l'on multiplie la première des équations (A) par — j, et qu'on l'ajoute à la seconde multipliée par x, on aura, en intégrant leur somme,

xdy — rdx , ~~~dt~""'''

c étant une nouvelle arbitraire.

Le mouvement du point est ainsi ramené aux trois équations diffé-